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Formule di geometria analitica

 

 

  PUNTI FORMULA
DISTANZA TRA DUE PUNTI:
A (x1; y)   B (x2; y) AB = |x2 - x1|
A (x; y1)   B (x; y2) AB = |y2 - y1|
A (x1; y1)   B (x2; y2) Distanza tra due punti

 

COORDINATE DEL PUNTO MEDIO DI UN SEGMENTO:
A (x1; y)   B (x2; y) Punto medio

 

A (x; y1)   B (x; y2) Punto medio

 

A (x1; y1)   B (x2; y2) Punto medio

 

PUNTI SIMMETRICI:
A1 (x1; y) A2 (-x1; y)
A1 (x; y1) A2 (x; -y1)
A1 (x1; y1) A2 (-x1; -y1)
TRASLAZIONE DEGLI ASSI:
X = x - p

Y = y - q

x = p + X

y = q + y

 

EQUAZIONE DELLA RETTA:
y = mx coefficiente angolare: 

m

y = x coefficiente angolare:

1

y = -x coefficiente angolare:

 -1

forma esplicita:

y = mx + n

coefficiente angolare:

m

forma implicita:

ax + by + c = 0

coefficiente angolare:

 -a/b

y = k m = 0
x = k m non esiste
y = 0  
x = 0  
(y - y0)/ (y1 - y0) =  (x - x0)/ (x1 - x0)
FASCIO DI RETTE:
y = mx  
y - y0 = m (x - x0)

a (x-x0) + b (y-y0) = 0

retta passante per il punto P (x0; y0)
COEFFICIENTE ANGOLARE DELLA RETTA PASSANTE PER DUE PUNTI

 

i punti dati sono P0 (x0; y0) e P1 (x1; y1)
PUNTI DI INTERSEZIONE DI UNA RETTA CON GLI ASSI CARTESIANI

 

A (0; n)

B (-n/m; 0)

DISTANZA DI UNA RETTA DALL'ORIGINE DEGLI ASSI

 

Distanza di una retta dall'origine degli assi

 

DISTANZA DI UN PUNTO DA UNA RETTA Distanza di un punto da una retta

 

PARABOLA:
y = ax2

 

a > 0 concavità verso l'alto

a < 0 concavità verso il basso

  • Equazione della parabola con vertice nell'origine degli assi e asse di simmetria orizzontale
x = ay2 a > 0 concavità verso destra

a < 0  concavità verso sinistra

 

y = ax2 + bx + c a > 0 concavità verso l'alto

a < 0 concavità verso il basso

 

asse di simmetria:    x = -b/2a

Vertice della parabola

Fuoco della parabola

Direttrice della parabola

 

x = ay2 + by + c a > 0 concavità verso destra

a < 0  concavità verso sinistra

 

Formule parabola con asse di simmetria orizzontale
CIRCONFERENZA
Equazione della circonferenza x2 + y2 + ax + by + c = 0

(x - α)2 + (y - β)2 = 0

 

Condizione perché l'equazione rappresenti una circonferenza

α2 + β2 - c > 0

Relazione tra a ed α, b e β,  c ed r

-2α = a

-2β = b

α2  + β2  - r2  = c

 

EQUAZIONE DELLA CIRCONFERENZA CASI PARTICOLARI:
x2 + y2 + by + c = 0
x2 + y2 + ax + c = 0
x2 + y2 + ax + by = 0
x2 + y2 + by = 0
x2 + y2 + ax = 0
x2 + y2 - r2 = 0
Formula di sdoppiamento xx0 + yy0 + a(x + x0)/2 + b(y + by0)/2  + c  = 0

 

Asse radicale (a1 - a2)x + (b1 - b2)y + (c1 - c2) = 0

 

Fascio di circonferenze x2 (1 + k) + y2 (1 + k)  + x (a1 ka2)  + y (b1 + kb2) + (c1 + kc2) = 0
per k   -1

Fascio di circonferenze

 

ELLISSE
Equazione dell'ellisse con centro nell'origine degli assi e fuochi sull'asse delle x Equazione ellisse canonica 2a = asse maggiore 

2b = asse minore

c2 = a2 - b2

e = c/a

 

Fuochi:  F1 (c; 0)

F2 (-c; 0)

Vertici: V1 (a; 0)

V2 (-a; 0)

V3 (0; b)

V4 (0; -b)

Equazione dell'ellisse con centro nell'origine degli assi e fuochi sull'asse delle y Equazione ellisse canonica 2a = asse minore 

2b = asse maggiore

c2 = b2 - a2

e = c/b

 

Fuochi:  F1 (0; c)

F2 (0; -c)

Vertici: V1 (a; 0)

V2 (-a; 0)

V3 (0; b)

V4 (0; -b)

Equazione dell'ellisse traslata Equazione ellisse traslata Centro:  P0(x0; y0)
Formula di sdoppiamento nell'ellisse        con P0(x0; y0) punto di tangenza
IPERBOLE
Equazione dell'iperbole riferita ai suoi assi con fuochi sull'asse delle x Equazione dell'iperbole riferita ai suoi assi con fuochi sull'asse delle x Fuochi: F1 (-c; 0)

F2 (c; 0)

Vertici: V1 (-a; 0)

V2 (a; 0)

Vertici non reali: V3 (0; b)

V4 (0; -b)

Distanza focale: F1F2 = 2c
Asse traverso: V1V2 = 2a
Asse non traverso: V3V4 = 2b
Asintoti: y = (b/a) x

y = (-b/a) x

Eccentricità: e = c/a
Relazione tra a, b, c: b2 = c2 - a2
Equazione dell'iperbole riferita ai suoi assi con fuochi sull'asse delle y Equazione dell'iperbole riferita ai suoi assi con fuochi sull'asse delle y Fuochi: F1 (0; -c)

F2 (0; c)

Vertici: V1 (0; b)

V2 (0; -b)

Vertici non reali: V3 (a; 0)

V4 (-a; 0)

Distanza focale: F1F2 = 2c

 

Asse traverso: V1V2 = 2b
Asse non traverso: V3V4 = 2a
Asintoti: y = (b/a) x

y = (-b/a) x

Eccentricità: e = c/a
Relazione tra a, b, c b2 = c2 - a2
Formula di sdoppiamento nell'iperbole riferita ai suoi asintoti Formula di sdoppiamento nell'iperbole con P(x0; y0) punto di tangenza
Equazione dell'iperbole traslata con fuochi sull'asse parallelo all'asse delle x: Equazione dell'iperbole traslata con fuochi su una retta parallela all'asse delle x
Centro: P0(x0; y0)
Fuochi: F1 (x0-c; y0)

F2 (x0+c; y0)

Vertici: V1 (x0-a; y0)

V2 (x0+a; y0)

Asintoti: y = +(b/a) (x-x0) + y0

y = -(b/a) (x-x0) + y0

con fuochi sull'asse parallelo all'asse delle y: Equazione dell'iperbole traslata con fuochi su una retta parallela all'asse delle y
Centro: P0(x0; y0)
Fuochi: F1 (x0; y0-c)

F2 (x0; y0+c)

Vertici: V1 (x0; y0-b)

F2 (x0; y0+b)

Asintoti: y = +(b/a) (x-x0) + y0

y = -(b/a) (x-x0) + y0

Equazione dell'iperbole equilatera riferita agli assi con fuochi sull'asse delle ascisse: x2 - y2 = a2
Fuochi: F1 (-c; 0)

F2 (c; 0)

con

Iperbole equilatera

Vertici: V1 (-a; 0)

V2 (a; 0)

Vertici non reali: V3 (0; -a)

V4 (0; a)

Asintoti: y = -x

y = x

Eccentricità: Eccentricità iperbole equilatera riferita agli assi
con fuochi sull'asse delle ordinate: x2 - y2 = -a2
Fuochi: F1 (0; -c)

F2 (0; c)

con

Iperbole equilatera

Vertici: V1 (0; -a)

V2 (0; a)

 

Vertici non reali: V3 (-a; 0)

V4 (a; 0)

 

Asintoti: y = -x

y = x

 

Eccentricità Eccentricità iperbole equilatera riferita agli assi
Equazione dell'iperbole equilatera riferita ai suoi asintoti situata nel I e III quadrante xy = k

con 

k = a2/2

Fuochi: Fuochi iperbole equilatera riferita ai suoi asintoti
Vertici: Vertici iperbole equilatera riferita ai suoi asintoti
Asintoti:  x = 0

y = 0

situata nel II e IV quadrante xy = -k

con 

k = a2/2

 

Fuochi: Fuochi iperbole equilatera riferita ai suoi asintoti
Vertici: Vertici iperbole equilatera riferita ai suoi asintoti
Asintoti:  x = 0

y = 0

 

Equazione dell'iperbole omografica Iperbole omografica

con

c ≠ 0

e

ad ≠ bc

Centro: P0 (-d/c; a/c)
Fuochi: Fuochi dell'iperbole omografica

con

Iperbole omografica

Vertici: Vertici dell'iperbole omografica

con

Iperbole omografica

Asintoti: x = - d/c

y = a/c

 

 

 

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