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EQUAZIONE del FASCIO di CIRCONFERENZE

 



Per comprendere  

 

Dopo aver visto, nella lezione precedente, cosa si intende per FASCIO di CIRCONFERENZE, in questa lezione cercheremo di capire qual è l'EQUAZIONE di un FASCIO DI CIRCONFERENZE.

A questa equazione si giunge partendo dall'EQUAZIONE di DUE CIRCONFERENZE distinte del fascio, la cui scelta è del tutto libera. Tali equazioni sono dette CIRCONFERENZE GENERATRICI o CIRCONFERENZE BASE.

 

Scriviamo le due equazioni:

x2 + y2 + a1x + b1y + c1 = 0

x2 + y2 + a2x + b2y + c2 = 0.

 

Le due circonferenze NON devono essere CONCENTRICHE. Quindi poniamo:

a1 a2

e

b1 b2.

 

Ora scriviamo l'equazione che si ottiene dalla COMBINAZIONE LINEARE delle due CIRCONFERENZE GENERATRICI. Con l'espressione "combinazione lineare" si intende l'equazione che si ottiene sommando alla prima, la seconda moltiplicata per un dato parametro.

Quindi, noi prendiamo il parametro k, appartenente all'insieme dei numeri reali, e lo moltiplichiamo per la seconda equazione:

 k · (x2 + y2 + a2x + b2y + c2) = 0.

 

Ora sommiamo questa equazione alla prima e otteniamo:

x2 + y2 + a1x + b1y + c1

 k · (x2 + y2 + a2x + b2y + c2 = 0).

 

Sviluppiamo e mettiamo in evidenza:

x2 + y2 + a1x + b1y + c1 kx2 + ky2 + ka2x + kb2y + kc2 = 0

x2 (1 + k) + y2 (1 + k)  + x (a1 ka2)  + y (b1 + kb2) + (c1 + kc2) = 0.

 

Se 

k   -1

possiamo dividere tutti i termini dell'equazione per 

1 + k.

 

Se 

k   -1

tale divisione non è possibile in quanto

1 + k = 1 - 1 = 0

e ci troveremmo, una volta fatta la divisione, con delle frazioni con zero al denominatore: cioè la divisione è impossibile.

Quindi, poniamo 

k   -1

e dividiamo tutti i termini dell'equazione per 

1 + k.

Avremo:

Equazione del fascio di circonferenze

 

Così abbiamo scritto l'equazione del FASCIO di CIRCONFERENZE nella forma canonica dell'equazione della circonferenza.

Equazione del fascio di circonferenze

 

Variando il parametro k sarà diversa la circonferenza considerata. Questa equazione, quindi, rappresenta infinite circonferenze generate tutte dalle due circonferenze generatrici.

 

Ora vediamo alcuni valori che può assumere il parametro k:

  • quando 

k = 0

l'equazione del fascio di circonferenze diventa

x2 + y2 + a1x + b1y + c1 = 0

cioè ci troviamo di fronte all'equazione della prima circonferenza generatrice;

 

  • quando 

k = -1

abbiamo detto che è impossibile effettuare la divisione. Possiamo, però considerare l'equazione del fascio di circonferenze nella sua forma

x2 (1 + k) + y2 (1 + k)  + x (a1 ka2)  + y (b1 + kb2) + (c1 + kc2) = 0

e osservare che essa diventa

 x (a1 - a2)  + y (b1 - b2) + (c1 - c2) = 0.

 

Ci troviamo, cioè, di fronte all'equazione di una retta che rappresenta l'ASSE RADICALE.

Per convenzione si considera questa, come l'equazione della circonferenza degenere avente raggio uguale ad infinito, ovvero

r = ∞.

 

  • Si noti che l'equazione della seconda circonferenza generatrice non la si ottiene per nessun valore di k. Tuttavia, per convenzione, si afferma che essa si ottiene quando k è uguale ad infinito, ovvero

k = ∞.

 

Nella prossima lezione vedremo come possiamo ottenere vari tipi di fasci di circonferenze a seconda delle due circonferenze generatrici.

 

 

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