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FORMULA di SDOPPIAMENTO nell'IPERBOLE

 



Per comprendere  

 

Nella lezione precedente abbiamo visto come è possibile scrivere l'EQUAZIONE della RETTA TANGENTE ALL'IPERBOLE.

Per risolvere il problema è possibile anche usare un altro metodo che consiste nell'applicare la cosiddetta FORMULA DI SDOPPIAMENTO.

Per vedere di cosa si tratta partiamo dall'EQUAZIONE DELL'IPERBOLE in forma canonica:

Equazione dell'iperbole

 

Ora moltiplichiamo entrambi i membri per a2b2 e otteniamo:

Equazione dell'iperbole

da cui abbiamo:

b2x2 - a2y2 = a2b2.

 

Immaginiamo che le coordinate del punto P siano

 P (x0 ; y0).

 

Nel punto P l'equazione dell'iperbole diventa:

b2x02 - a2y02 = a2b2.

 

Ora sottraiamo, membro a membro, dall'equazione generale dell'iperbole, l'equazione appena scritta:

b2x2 - a2y2 = a2b2 -

b2x02 - a2y02 = a2b2.

 

Otterremo:

(x2 - x02)· b2 - (y2 - y02)· a2 = 0 

 

 

Ora osserviamo che

(x2 - x02)· b2 - (y2 - y02)· a2 = 0 

 

x2 - x02

 y2 - y02 

 

sono entrambi il PRODOTTO della SOMMA di due MONOMI per la loro DIFFERENZA.

Quindi possiamo scrivere

x2 - x02 = (x - x0) · (x + x0

y2 - y02 = (y - y0) · (y + y0).

 

Sostituendo avremo: 

(x2 - x02)· b2 - (y2 - y02)· a2 = 0 

(x - x0) · (x + x0) · b2 - (y - y0) · (y + y0) · a2 = 0.

 

 

Il fascio di rette passante per il punto P ha equazione:

y - y0 = m (x - x0).

 

Ora sostituiamo a

(y - y0)

il corrispondente

 m (x - x0)

e avremo:

(x - x0) · (x + x0) · b2 -  m (x - x0) · (y + y0) · a2 = 0.

 

A questo punto dividiamo tutto per

(x - x0

ed otteniamo

(x + x0) · b2 -  m · (y + y0) · a2 = 0.

 

La nostra equazione, nel punto P assume i seguenti valori:

(x0 + x0) · b2 -  m · (y0 + y0) · a2 = 0

da cui otteniamo:

2x0b2 -  m2y0a2 = 0.

 

Ricaviamo il valore di m:

- m2y0a2 = - 2x0b2

 m2y0a2 2x0b2

m = 2x0b2/ 2y0a2

m = x0b2/ y0a2.

 

Ora sostituiamo il coefficiente angolare appena trovato nell'equazione del fascio di rette passante per P. Avremo:

y - y0 = m (x - x0)

Formula di sdoppiamento nell'iperbole

 

Moltiplichiamo, primo e secondo membro, per y0a2. Avremo:

y0a2 · (y - y0) = x0b2 (x - x0).

 

Eseguiamo i calcoli:

y0a2y - a2y02 = x0b2x - x02b2.

 

Portiamo tutto a primo membro cambiando di segno:

y0a2y - a2y02 - x0b2x + x02b2 = 0.

 

Ora noi sappiamo che nel punto P l'equazione dell'iperbole è:

b2x02 - a2y02 = a2b2.

 

 

Andiamo allora a sostituire

b2x02 - a2y02  

con

a2b2.

 

Quindi avremo:

y0a2y - a2y02 - x0b2x + x02b2 = 0

y0a2y + x0b2x + a2b2 = 0.

 

Portiamo a secondo membro + a2b2 cambiando di segno:

y0a2y - x0b2x = - a2b2.

 

Dividiamo entrambi i membri per - a2b2 e avremo:

Formula di sdoppiamento iperbole

 

Cambiamo l'ordine e scriviamo:

Formula di sdoppiamento iperbole

 

La formula appena trovata prende il nome di FORMULA DI SDOPPIAMENTO NELL'IPERBOLE e ci permette di trovare l'equazione della retta tangente all'iperbole e passante per il punto P.

Chiaramente questa formula è valida se ci troviamo di fronte ad un'iperbole con fuochi sull'asse delle ascisse. 

Nel caso, invece, in cui l'iperbole ha i fuochi sull'asse delle ordinate la formula di sdoppiamento da usare sarà:

Formula di sdoppiamento iperbole

 

Ovviamente a tale formula si giungerà seguendo lo stesso procedimento con la sola differenza che si dovrà partire dall'equazione canonica dell'iperbole con fuochi sull'asse delle ordinate.

 

Riprendiamo l'esempio visto nella lezione precedente  e vediamo come è possibile risolverlo usando le formule di sdoppiamento.

 

Esempio:

scrivere l'equazione della retta tangente all'iperbole di equazione 

Equazione dell'iperbole

nel punto

P (5; -3).

 

Applichiamo la formula di sdoppiamento:

Formula di sdoppiamento iperbole

 

Sostituiamo, ai valori di x0 e y0, le coordinate del punto P:

Formula di sdoppiamento iperbole

Noi sappiamo anche che 

a2 = 16

b2 = 16.

 

Quindi possiamo scrivere:

Formula di sdoppiamento iperbole

 

Eseguiamo i calcoli:

Formula di sdoppiamento iperbole

 

Abbiamo trovato l'equazione della retta tangente l'iperbole nel punto P e, come possiamo notare, il risultato è lo stesso che avevamo visto nella lezione precedente, ma i conteggi sono molto più semplici. 

 

 

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