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EQUAZIONE dell'ELLISSE con CENTRO nell'ORIGINE e FUOCHI sull'ASSE delle x 

 

 

Per comprendere  

 

Nella lezione precedente abbiamo disegnato un'ELLISSE il cui CENTRO è l'ORIGINE DEGLI ASSI e i cui FUOCHI si trovano sull'ASSE delle x:

Ellisse con centro nell'origine degli assi e fuochi sull'asse delle x

 

Ora vogliamo cercare di capire qual è l'EQUAZIONE di questa ellisse.

 

Sappiamo che l'ELLISSE è il luogo geometrico dei PUNTI del piano tali che la SOMMA delle DISTANZE da DUE PUNTI FISSI, detti FUOCHI, è COSTANTE.

Chiamiamo i due FUOCHI, F1 e F2, tali che:

F1 (-c; 0);

F2 (c; 0).

 

Ora prendiamo un qualsiasi punto P sull'ellisse di coordinate x e y, ovvero:

P (x; y).

 

Dalla definizione data si deduce che affinché P appartenga all'ellisse deve essere:

PF1+ PF2 = costante.

 


Ora indichiamo la nostra COSTANTE con 2a. Avremo:

PF1+ PF2 = 2a.

 

Noi sappiamo che, dati due punti

A (x1; y1)

e

B(x2; y2)

la loro distanza è uguale a:

Distanza tra due punti sul piano cartesiano

 

 Quindi la distanza PF1 è data da:

Distanza tra due punti sul piano cartesiano

 

mentre la distanza PF2 è data da:

Distanza tra due punti sul piano cartesiano

 

Quindi 

PF1 + PF2 = 2a

può essere scritta come segue:

Equazione dell'ellisse

 

 

Portiamo a secondo membro il secondo radicale cambiandogli il segno:

Equazione dell'ellisse

 

Eleviamo al quadrato primo e secondo membro

Equazione dell'ellisse

 

Equazione dell'ellisse

 

Equazione dell'ellisse

 

 

Semplificando avremo:

Equazione dell'ellisse

 

 

Equazione dell'ellisse

 

Isoliamo il radicale portandolo a primo membro:

Equazione dell'ellisse

 

Equazione dell'ellisse

 

A secondo membro mettiamo in evidenza il 4:

Equazione dell'ellisse

 

 

Dividiamo entrambi i membri per 4 e avremo:

Equazione dell'ellisse

 

Ora eleviamo al quadrato primo e secondo membro e avremo:

Equazione dell'ellisse

Equazione dell'ellisse

 

Semplifichiamo:

Equazione dell'ellisse

Equazione dell'ellisse

 

Portiamo a primo membro, cambiando di segno, x2c2, mentre portiamo a secondo membro, sempre cambiando di segno, a2c2:

Equazione dell'ellisse

 

Ora mettiamo in evidenza, a primo membro x2, e a secondo membro a2. Avremo:

Equazione dell'ellisse

 

Ora poniamo 

a2 - c2 = b2.

 

Tale sostituzione è possibile perché esiste sempre un valore di b appartenente all'insieme dei reali positivi  R+ tali che 

a2 - c2 = b2 .

Vediamone il perché.

Disegniamo il punto P appartenente all'ellisse e i fuochi F1 e F2:

Ellisse

 

I segmenti PF1, PF2, F1F2 sono i lati di un TRIANGOLO.

 

Indichiamo la lunghezza del segmento F1F2 con 2c, ovvero

F1F2 = 2c.

 

Ora, noi sappiamo che in un TRIANGOLO OGNI LATO è sempre MINORE della SOMMA DEGLI ALTRI DUE.

Quindi possiamo scrivere:

F1F2 < PF1 + PF2 .

 

Ma poiché

F1F2 = 2c

PF1 + PF = 2a

 

possiamo dire che

2c < 2a

ovvero

c < a

quindi

c2 < a2

da cui

c2 - a2 0 

ovvero

a2 - c2 > 0 .

 

Quindi ci sarà sempre un valore di b appartenente all'insieme dei reali positivi  R+ tale che 

a2 - c2 = b2 .

 

Ora, torniamo alla nostra equazione, ed effettuiamo la sostituzione detta.

Equazione dell'ellisse

Equazione dell'ellisse

 

Dividiamo entrambi i membri per a2b2:

Equazione dell'ellisse

 

Dunque:

Equazione dell'ellisse

è l'equazione dell'ellisse da noi disegnata. 

Come possiamo notare si tratta di un'ELLISSE che ha:

  • il CENTRO nell'ORIGINE degli assi;

  • i FUOCHI sull'ASSE DELLE x.

 

Quindi 

Equazione dell'ellisse

 

è l'EQUAZIONE DELL'ELLISE con CENTRO nell'ORIGINE degli assi e FUOCHI sull'ASSE delle x.

Concludiamo questa lezione dicendo che, quando l'ellisse ha come ASSI di SIMMETRIA gli ASSI CARTESIANI prende il nome di ELLISSE CANONICA.

 

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