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FORMULA di SDOPPIAMENTO nella CIRCONFERENZA

 



Per comprendere  

 

Nella lezione precedente abbiamo visto come possiamo risolvere problemi nei quali ci viene chiesto di scrivere l'equazione della retta tangente ad una circonferenza in un determinato punto che, quindi, appartiene alla circonferenza.

Esiste anche un altro metodo per la soluzione di questo tipo di problemi e consiste nell'applicare la così detta FORMULA di SDOPPIAMENTO.

Vediamo quali sono queste formule e come si giunge ad esse.

Ricordiamo che l'EQUAZIONE DELLA CIRCONFERENZA è 

x2 + y2 + ax + by + c = 0.

 

Il punto P APPARTENENTE alla circonferenza ha coordinate:

 P(x0; y0).

 

Poiché il punto P appartiene alla circonferenza, in questo punto la nostra equazione della circonferenza diventa

x02 + y02 + ax0 + by0 + c = 0.

 

Ora sottraiamo, membro a membro, dall'equazione generale della circonferenza, quella appena scritta:

x2 + y2 + ax + by + c =0

(x02 + y02 + ax0 + by0 + c) = 0.

 

Otterremo:

(x2 - x02) + (y2 - y02)+ (ax - ax0) + (by - by0) + (c - c) = 0 

 

Semplifichiamo:

(x2 - x02) + (y2 - y02)+ (ax - ax0) + (by - by0) = 0 .

 

Ora osserviamo che

(x2 - x02) + (y2 - y02)+ (ax0 - ax) + (by0 - by) = 0

x2 - x02

 y2 - y02 

 

sono entrambi il PRODOTTO della SOMMA di due MONOMI per la loro DIFFERENZA.

Quindi possiamo scrivere

x2 - x02 = (x - x0) · (x + x0

y2 - y02 = (y - y0) · (y + y0).

 

Quindi sostituendo avremo: 

(x - x0) · (x + x0 + (y - y0) · (y + y0) + (ax - ax0) + (by - by0) = 0.

 

 

Ora effettuiamo un raccoglimento a fattore comune parziale mettendo in evidenza a e b:

(x - x0) · (x + x0 + (y - y0) · (y + y0) + (ax - ax0) + (by - by0) = 0

 

(x - x0) · (x + x0 + (y - y0) · (y + y0) + a(x - x0) + b(y - y0) = 0.

 

 

Noi sappiamo che il FASCIO di RETTE passanti per il punto P ha equazione:

y - y0 = m (x - x0).

 

Quindi, nell'equazione precedente, sostituiamo y - y0 con m (x - x0):

 

(x - x0) · (x + x0 + (y - y0) · (y + y0) + a(x - x0) + b(y - y0) = 0

 

(x - x0) · (x + x0 + m(x - x0) · (y + y0) + a(x - x0) + bm(x - x0) = 0.

 

 

A questo punto dividiamo primo e secondo membro per 

(x - x0

ed otteniamo

(x - x0) · (x + x0 + m(x - x0) · (y + y0) + a(x - x0) + bm(x - x0) = 0

 

(x + x0) + m(y + y0) + a  + bm = 0.

 

 

Il punto P(x0; y0) appartiene alla curva appena scritta. Quindi, in essa possiamo sostituire alla x il valore xe alla y il valore y0 ed avremo

(x0 + x0) + m(y0 + y0) + a  + bm = 0.

 

 

Da cui si ottiene:

2x0 + my0 + my0 + a  + bm = 0

2x0 + 2my0 + a  + bm = 0.

 

Ora troviamo il valore di m:

 bm + 2my0   = - a - 2x0  

m(b + 2y0) = - (a + 2x0

m = - (a + 2x0 ) / (b + 2y0 ).

 

Ora, sapendo quando vale m, andiamo a sostituire tale valore nell'equazione del FASCIO di RETTE passanti per P e avremo:

y - y0 =  [- (a + 2x0 ) / (b + 2y0 )](x - x0).

 

 

Moltiplichiamo entrambi i membri per (b + 2y0)  

(y - y0) (b + 2y0 ) - (a + 2x0 )(x - x0)

 

ed eseguendo i calcoli

by + 2yy0 - by0 - 2y02 = - (ax - ax0 + 2xx0 - 2x02)

by + 2yy0 - by0 - 2y02 = -ax + ax0 - 2xx0 + 2x02

by + 2yy0 - by0 - 2y02 + ax  - ax0 + 2xx0 - 2x02 = 0

2xx0 + 2yy0 + ax  - ax0 + by + - by0 - 2(x02 + y02 ) = 0.

 

 

Ma noi avevamo detto che, poiché il punto P appartiene alla circonferenza, in questo punto la nostra equazione della circonferenza diventa

x02 + y02 + ax0 + by0 + c = 0.

 

Di conseguenza

x02 + y02 = - ax0 - by0 - c 

 

Sostituiamo, nell'equazione precedente, x02 + y02 con - ax0 - by0 - c 

 

2xx0 + 2yy0 + ax  - ax0 + by + - by0 - 2(x02 + y02 ) = 0

 

2xx0 + 2yy0 + ax  - ax0 + by + - by0 - 2(-ax0 - by0 - c ) = 0.

 

Sviluppando, otteniamo

2xx0 + 2yy0 + ax  - ax0 + by - by0 + 2ax0 + 2by0 + 2c  = 0

2xx0 + 2yy0 + ax  + ax0 + by + by0  + 2c  = 0.

 

 

Effettuiamo un raccoglimento a fattore comune parziale mettendo in evidenza a e b:

2xx0 + 2yy0 + ax  + ax0 + by + by0  + 2c  = 0

2xx0 + 2yy0 + a(x + x0) + b(y + by0 + 2c  = 0.

 

 

Infine, dividiamo tutti i termini per 2 ed otteniamo:

xx0 + yy0 + a(x + x0)/2 + b(y + by0)/2  + c  = 0.

 

 

Quella che abbiamo appena scritto è la FORMULA DI SDOPPIAMENTO NELLA CIRCONFERENZA.

 

Ricordiamo, ancora una volta, che essa può essere applicata solamente se il punto P appartiene alla circonferenza.

 

Riprendiamo il problema visto nella lezione precedente e vediamo come esso poteva essere risolto applicando la formula riportata sopra.

 

Esempio:

scrivere l'equazione della retta tangente, nel punto P(8; 6), alla circonferenza di equazione x2 + y2 -10x + 6y -56 = 0.

 

La formula da applicare è:

xx0 + yy0 + a(x + x0)/2 + b(y + by0)/2  + c  = 0

8x + 6y -10(x + 8)/2 + 6(y + 6)/2 - 56 = 0

8x + 6y + (-10x - 80)/2 + (6y + 36)/2 - 56 = 0

8x + 6y - 5x - 40 + 3y +18 - 56 = 0

3x +9y - 78 = 0

9y = -3x + 78

y = -1/3 x + 78/9

y= -1/3 x + 26/3.

 

Come possiamo notare abbiamo ottenuto lo stesso risultato a cui eravamo giunti usando il metodo visto nella lezione precedente. 

 

 

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