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EQUAZIONE della PARABOLA con asse di simmetria parallelo all'asse delle y

 



Per comprendere  

 

Nelle lezioni precedenti abbiamo visto che l'equazione della PARABOLA che ha come VERTICE l'ORIGINE DEGLI ASSI e come ASSE DI SIMMETRIA l'ASSE DELLE y è la seguente

y = ax2

con

a ≠ 0.

 

Inoltre si è visto che la parabola ha la concavità rivolta verso l'alto o verso il basso a seconda che

a > 0

oppure

a < 0.

 

Parabola con vertice nell'origine degli assi

 

 

Ora vogliamo effettuare una TRASLAZIONE DEGLI ASSI CARTESIANI portando l'origine degli assi nel punto O' di coordinate (x0; y0)

Equazione della parabola

 

Ora disegniamo la parabola avente come vertice O':

Equazione della parabola

 

La parabola appena disegnata ha come equazione 

Y = aX2.

 

Ma noi sappiamo che la relazione che lega i due sistemi di assi cartesiani è la seguente:

Traslazione assi cartesiani

 

Quindi, sostituiamo, nell'equazione della parabola e abbiamo:

y - y0 = a (x - x0)2.

 

In questo modo abbiamo scritto l'equazione della nostra parabola facendo riferimento agli assi cartesiani x e y (e non più agli assi X e Y).

Risolviamo ed otteniamo:

y - y0 = a (x2 + x02 - 2xx0 )

y - y0 = ax2 + ax02 - 2axx0

y = ax2 + ax02 - 2axx0 + y0.

 

Ora poniamo

- 2ax0 = b

e poniamo

ax02 y0 = c.

 

Avremo:

y = ax2 + ax02 - 2axx0 + y0

y = ax2 + bx + c.

 

Quindi possiamo dire che l'equazione:

y = ax2 + bx + c

 

è l'equazione di una PARABOLA avente l'ASSE SI SIMMETRIA PARALLELO all'ASSE delle y e avente il vertice nel punto di coordinate (x0 ; y0).

Ora determiniamo le coordinate del vertice della parabola facendo riferimento agli assi cartesiani x e y

Abbiamo detto che la relazione che lega i due sistemi di assi cartesiani è la seguente:

Traslazione assi cartesiani

 

Ma poiché la nostra parabola ha il vertice nell'origine degli assi  X e Y, possiamo scrivere:

Traslazione assi cartesiani

da cui otteniamo:

 

Traslazione assi cartesiani

 

 

Le coordinate del vertice le troviamo ricordando che abbiamo posto:

- 2ax0 = b

ax02 y0 = c.

 

Innanzitutto poniamo a sistema:

Coordinate del vertice della parabola

 

Ora, poiché 

x = x0 

y = y

effettuiamo le opportune sostituzioni:

Coordinate del vertice della parabola

Risolviamo la prima equazione:

-2ax = b

2ax = -b

x = -b/2a.

 

Sostituiamo, nella seconda equazione, il valore della x e cerchiamo il valore della y:

Coordinate del vertice della parabola

 

Poiché noi sappiamo che:

Δ = b2 - 4ac.

 

Avremo che:

-Δ = -b2 + 4ac.

 

E quindi:

y = -Δ/ 4a.

 

Quindi, le coordinate del vertice della nostra parabola sono:

V ( -b/2a ; -Δ/ 4a).

 

Notiamo ancora che, l'asse di simmetria, è la retta parallela all'asse delle y passante per il punto di coordinate (x0; 0). Quindi l'ASSE DI SIMMETRIA è la retta di equazione:

x = -b/2a.

 

Nella lezione che segue vedremo un altro modo per giungere all'equazione della parabola.

 

 

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