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IPERBOLE EQUILATERA riferita agli assi

 



Per comprendere  

 

Immaginiamo di avere un'iperbole con CENTRO nell'ORIGINE degli ASSI e con SEMIASSE TRAVERSO UGUALE al SEMIASSE NON TRAVERSO. In altre parole si avrà:

a = b.

 

Graficamente l'iperbole si presenta così:

Iperbole equilatera

 

Poiché

a = b

l'equazione dell'iperbole diventa

Equazione dell'iperbole canonica

Equazione dell'iperbole equilatera

 

Quindi, possiamo dire che

x2 - y2 = a2

è l'equazione dell'IPERBOLE EQUILATERA riferita al CENTRO e agli ASSI CARTESIANI  e avente i FUOCHI sull'ASSE delle ASCISSE.

I FUOCHI dell'IPERBOLE EQUILATERA, sono

F1 (-c; 0)   F2 (c; 0).

 

Essendo la relazione che lega c con a e b, la seguente:

c2 = a2 + b2

e poiché nell'iperbole equilatera

a = b

possiamo scrivere

c2 = a2 + a2 = 2a2

Elementi iperbole equilatera

 

I vertici sono

V1 (-a; 0)

V2 (a; 0).

 

I vertici non reali sono

V3 (0; -b)

V4 (0; b)

ma poiché

a = b

essi diventano

V3 (0; -a)

V4 (0; a).

 

 

Passiamo agli ASINTOTI. Essendo essi:

Asintoti iperbole equilatera

e poiché nell'iperbole equilatera

a = b

possiamo scrivere

Asintoti iperbole equilatera

ovvero

y = ± x.

In altre parole, gli asintoti non sono altro che la BISETTRICE del PRIMO e TERZO QUADRANTE e la BISETTRICE del SECONDO e QUARTO QUADRANTE come possiamo anche notare dal grafico precedente.

 

Infine, l'eccentricità è data sempre da 

e = c/a

ma poiché

Elementi iperbole equilatera

possiamo dire che

Eccentricità iperbole equilatera

 

Ovviamente, anche l'IPERBOLE EQUILATERA può avere i FUOCHI sull'ASSE delle ORDINATE.

 

Iperbole equilatera con fuochi sull'asse delle ordinate

 

Sarà facile dimostrare che questa iperbole ha:

  • equazione

x2 - y2 = - a2

 

  • fuochi

F1 (0; -c)   F2 (0; c)

 

  • relazione che lega c con a e b

  Elementi iperbole equilatera

 

  • vertici

V1 (0; -a)

V2 (0; a).

 

  • vertici non reali

V3 (-a; 0)

V4 (a; 0)

 

  • asintoti

y = ± x

 

  • eccentricità

Eccentricità iperbole equilatera

 

 

 

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