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 FUNZIONE OMOGRAFICA

 



Per comprendere  

 

Con l'espressione FUNZIONE OMOGRAFICA si intende una funzione del tipo

Funzione omografica

 

Questa funzione può rappresentare tre luoghi geometrici diversi:

  1. Quando

c = 0

la funzione rappresenta una RETTA di equazione

Funzione omografica

chiaramente dovremo avere 

d ≠ 0

 

 

  1. Quando

c 0 e ad = bc

la funzione rappresenta una RETTA ORIZZONTALE. Infatti, se

ad = bc

avremo

ad/c = bc/c

ad/c = b.

Quindi partiamo da

Funzione omografica

e poniamo 

b = ad/c .

Avremo:

Funzione omografica

Attenzione però! Abbiamo detto che questa è una retta orizzontale, ma tranne in un punto cioè:

x = -d/c.

Infatti, il campo di esistenza di questa frazione è appunto

c ≠ 0  - che sicuramente è vera perché posta nelle condizioni di partenza

cx + d ≠ 0

da cui segue

cx ≠ -d

x ≠ -d/c.

 

  1. Quando

c 0 e ad bc

la funzione rappresenta un'IPERBOLE EQUILATERA riferita ai suoi ASINTOTI e TRASLATA rispetto agli ASSI CARTESIANI:

In altre parole ci troviamo di fronte ad un'iperbole del tipo:

 Iperbole omografica

Questa iperbole è detta anche IPERBOLE OMOGRAFICA.

Dimostriamo che, l'equazione vista sopra, rappresenta un'iperbole equilatera riferita ai suoi asintoti e traslata rispetto agli assi cartesiani. Ricordiamo che l'equazione di un'iperbole equilatera riferita ai suoi asintoti è del tipo:

xy = k

da cui si ottiene

y = k/ x.

 

Come di consueto indichiamo con  X e Y gli assi aventi per origine il punto P0 : essi rappresentano gli ASINTOTI della nostra iperbole.

Supponiamo che il punto P0 abbia come coordinate

Iperbole omografica

Ovviamente dovrà essere 

 c ≠ 0  - che sicuramente è vera perché posta nelle condizioni di partenza.

 

Vediamo l'equazione che l'iperbole assume se il sistema di riferimento è dato dagli assi XP0 Y. Essa sarà del tipo:

XY = k.

 

Noi, però, vogliamo sapere qual è l'equazione di tale iperbole sul sistema di assi xOy.

Avvaliamoci delle equazioni che ci permettono di passare alle coordinate del sistema xOy. Queste equazioni sono:

Equazioni di cambiamento degli assi di riferimento

dove x0 e y0 sono le coordinate del punto P0 che nel nostro caso sono

Iperbole omografica

 

Effettuiamo le dovute sostituzioni e avremo:

Iperbole omografica

da cui avremo

Iperbole omografica

 

 

Se sostituiamo nell'equazione

i valori di x e y appena trovati, possiamo scrivere:

 

 

Ricordiamo, inoltre, che

k =a2/2.

Sostituendo abbiamo:

Iperbole omografica

 

Come possiamo notare la nostra equazione assume la forma:

Iperbole omografica

 

La nostra equazione, quindi, è quella di un'iperbole equilatera riferita ai propri asintoti e traslata.

Nella prossima lezione vedremo gli elementi di tale iperbole.

 

 

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