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EQUAZIONE dell'IPERBOLE

 

 



Per comprendere  

 

Dopo aver visto, nella lezione precedente, cosa si intende per IPERBOLE, vediamo qual è la sua EQUAZIONE.

Per semplificare le cose disegniamo un'IPERBOLE nella quale:

 

  • l'ORIGINE degli ASSI è anche il PUNTO MEDIO dei FUOCHI;

  • l'ASSE delle ASCISSE è la RETTA CHE CONGIUNGE i FUOCHI.

 

Ipotizziamo che i due fuochi abbiano le seguenti coordinate:

F1 (-c; 0)

F2 (c; 0).

 

Supponiamo, inoltre, che il generico punto P appartenente all'iperbole abbia coordinate

P (x; y).

 

Noi sappiamo che, affinché P sia un punto dell'IPERBOLE, si deve verificare la condizione:

| PF1 - PF2 | = 2a.

 

Ricordiamo che la distanza tra due punti è:

Distanza tra due punti

 

Sostituendo le coordinate dei punti P e F1 possiamo dire che la distanza PF1 è data da:

Distanza PF1

 

Sostituendo le coordinate dei punti P e F2 possiamo dire che la distanza PF2 è data da:

Distanza PF2

 

Quindi, la condizione

| PF1 - PF2 | = 2a

può essere scritta nel modo seguente

Equazione dell'iperbole

che equivale a scrivere

Equazione dell'iperbole

 

 

Isoliamo la prima radice a primo membro, portando la seconda radice a secondo membro e cambiandole di segno:

Equazione dell'iperbole

 

Eleviamo al quadrato primo e secondo membro ed otteniamo:

Equazione dell'iperbole

Osserviamo che ±2a elevato al quadrato, diventa +4a2 dato che un numero sia esso positivo che negativo, elevato al quadrato, diventa sempre positivo.

 

Semplifichiamo:

Equazione dell'iperbole

ed otteniamo

Equazione dell'iperbole

 

Ora isoliamo la radice a secondo membro:

Equazione dell'iperbole

e sommiamo i termini simili:

Equazione dell'iperbole

Equazione dell'iperbole

 

Dividiamo primo e secondo membro per 4:

Equazione dell'iperbole

 

Eleviamo, ancora, primo e secondo membro al quadrato:

Equazione dell'iperbole

Anche in questo caso, quando eleviamo ±a al quadrato otteniamo un numero positivo.

 

Ora ordiniamo un po' i nostri valori:

Equazione dell'iperbole

 

Tra i primi due termini del primo membro mettiamo in evidenza la x2, mentre a secondo membro mettiamo in evidenza a2. Avremo:

Equazione dell'iperbole

 

Ora poniamo

b2 = c2 - a2.

Tale sostituzione è possibile perché esiste sempre un valore di b appartenente all'insieme dei reali positivi  R+ tale che 

c2 - a2 = b2 .

Vediamone il perché:

Disegniamo il punto P appartenente all'iperbole e i fuochi F1 e F2:

Iperbole

I segmenti PF1, PF2, F1F2 sono i lati di un TRIANGOLO.

 

Indichiamo la lunghezza del segmento F1F2 con 2c, ovvero

F1F2 = 2c.

 

Ora, noi sappiamo che in un TRIANGOLO OGNI LATO è sempre MAGGIORE della DIFFERENZA DEGLI ALTRI DUE.

Quindi possiamo scrivere:

F1F2 > | PF1 - PF2 |.

 

Ma poiché

F1F2 = 2c

| PF1 - PF2 | = 2a

 

possiamo dire che

2c > 2a

ovvero

c > a

quindi

c2 > a2

da cui

c2 - a2 > 0.

 

Quindi ci sarà sempre un valore di b appartenente all'insieme dei reali positivi  R+ tale che 

c2 - a2 = b2 .

 

Ora, torniamo alla nostra equazione, ed effettuiamo la sostituzione detta. Avremo:

Equazione dell'iperbole

 

Equazione dell'iperbole

 

Dividiamo entrambi i membri per a2b2 in modo da avere:

Equazione dell'iperbole

 

Quella che abbiamo scritto è l'EQUAZIONE dell'IPERBOLE con i FUOCHI sull'ASSE DELLE ASCISSE.

 

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