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EQUAZIONE dell'ELLISSE con CENTRO nell'ORIGINE e FUOCHI sull'ASSE delle y 

 

 

Per comprendere  

 

Osserviamo l'ELLISSE disegnata sotto: 

Ellisse con centro nell'origine degli assi e fuochi sull'asse delle y

Come possiamo notare il CENTRO dell'ellisse è l'ORIGINE DEGLI ASSI, ma i FUOCHI, a differenza di quanto abbiamo visto nelle lezioni precedenti, si trovano sull'ASSE delle y.

Ora vogliamo dimostrare che l'EQUAZIONE di questa ellisse è la stessa di quella avente centro nell'origine degli assi e fuochi sull'asse delle x.

Partiamo dai due FUOCHI, F1 e F2, tali che:

F1 (0; c);

F2 (0; -c).

 

Prendiamo un generico P sull'ellisse 

P (x; y).

 

Poiché l'ELLISSE è il luogo geometrico dei PUNTI del piano tali che la SOMMA delle DISTANZE da DUE PUNTI FISSI, detti FUOCHI, è COSTANTE, possiamo scrivere:

PF1+ PF2 = costante.


Ora poniamo la nostra COSTANTE uguale a 2b. Possiamo scrivere:

PF1+ PF2 = 2b.

 

Calcoliamo la distanza  PF1:

Distanza tra due punti sul piano cartesiano

 

Ed ora calcoliamo la distanza PF2:

Distanza tra due punti sul piano cartesiano

 

Quindi possiamo scrivere

PF1 + PF2 = 2b

nel modo seguente:

Equazione dell'ellisse

 

 

Portiamo a secondo membro il secondo radicale cambiando di segno:

Equazione dell'ellisse

 

A questo punto eleviamo al quadrato primo e secondo membro

Equazione dell'ellisse

 

Equazione dell'ellisse

 

Equazione dell'ellisse

 

 

Andiamo a semplificare:

Equazione dell'ellisse

 

ottenendo:

Equazione dell'ellisse

 

Isoliamo il radicale portandolo a primo membro e cambiandogli il segno:

Equazione dell'ellisse

 

Equazione dell'ellisse

 

Ora, a secondo membro, andiamo a mettere in evidenza il 4:

Equazione dell'ellisse

 

 

Dividiamo entrambi i membri per 4:

Equazione dell'ellisse

 

Andiamo ad elevare al quadrato il primo e il secondo membro:

Equazione dell'ellisse

Equazione dell'ellisse

 

Semplifichiamo:

Equazione dell'ellisse

 

Portiamo a primo membro, cambiando di segno, c2y2, mentre portiamo a secondo membro, sempre cambiando di segno, b2c2. Otteniamo:

Equazione dell'ellisse

 

Ora mettiamo in evidenza, a primo membro y2, e a secondo membro b2. Avremo:

Equazione dell'ellisse

 

Poniamo 

b2 - c2 = a2.

Tale sostituzione è possibile perché esiste sempre un valore di a appartenente all'insieme dei reali positivi  R+ tali che 

b2 - c2 = a2 .

Vediamone il perché.

Disegniamo il punto P appartenente all'ellisse e i fuochi F1 e F2:

Ellisse

I segmenti PF1, PF2, F1F2 sono i lati di un TRIANGOLO.

 

Indichiamo la lunghezza del segmento F1F2 con 2c, ovvero

F1F2 = 2c.

 

Ora, noi sappiamo che in un TRIANGOLO OGNI LATO è sempre MINORE della SOMMA DEGLI ALTRI DUE.

Quindi possiamo scrivere:

F1F2 < PF1 + PF2 .

 

Ma poiché

F1F2 = 2c

PF1 + PF = 2b

 

possiamo dire che

2c < 2b

ovvero

c < b

quindi

c2 < b2

da cui

c2 - b2 0 

ovvero

b2 - c2 > 0 .

 

Quindi ci sarà sempre un valore di a appartenente all'insieme dei reali positivi  R+ tale che 

b2 - c2 = a2 .

 

Ora, torniamo alla nostra equazione, ed effettuiamo la sostituzione detta. Avremo:

Equazione dell'ellisse

Equazione dell'ellisse

 

Andiamo a dividere entrambi i membri per a2b2:

Equazione dell'ellisse

 

Quindi l'EQUAZIONE DELL'ELLISE con CENTRO nell'ORIGINE degli assi e FUOCHI sull'ASSE delle y è la stessa che abbiamo visto nelle lezioni precedenti quando abbiamo parlato dell'equazione dell'ellisse con centro nell'origine degli assi e fuochi sull'asse delle x.

Anche in questo caso, come abbiamo già detto parlando dell'ellisse con fuochi sull'asse delle x, poiché gli ASSI di SIMMETRIA coincidono con gli ASSI CARTESIANI si parla di ELLISSE CANONICA.

 

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