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FORMULA di SDOPPIAMENTO nell'ELLISSE

 

 

Per comprendere  

 

Nella lezione precedente abbiamo visto come è possibile scrivere l'EQUAZIONE della RETTA TANGENTE ALL'ELLISSE  e passante per un PUNTO sia che esso sia ESTERNO all'ellisse, sia che esso APPARTENGA all'ellisse.

Va detto però che, quando il PUNTO per il quale passa la retta tangente APPARTIENE all'ELLISSE, è possibile usare anche un altro metodo che consiste nell'applicare la cosiddetta FORMULA DI SDOPPIAMENTO.

Ricordiamo che l'EQUAZIONE DELL'ELLISSE è 

Equazione dell'ellisse in forma canonica

Ora moltiplichiamo entrambi i membri per a2b2 e otteniamo:

Equazione dell'ellisse

da cui:

b2x2 + a2y2 = a2b2.

 

Il punto P APPARTENENTE all'ellisse è

 P (x0; y0).

 

Nel punto P l'equazione dell'ellisse diventa:

b2x02 + a2y02 = a2b2.

 

Ora sottraiamo, membro a membro, dall'equazione generale dell'ellisse, l'equazione appena scritta:

b2x2 + a2y2 = a2b2 -

b2x02 + a2y02 = a2b2.

 

Otterremo:

(x2 - x02)· b2 + (y2 - y02)· a2 = 0 

 

 

Ora osserviamo che

(x2 - x02)· b2 + (y2 - y02)· a2 = 0 

 

x2 - x02

 y2 - y02 

 

sono entrambi il PRODOTTO della SOMMA di due MONOMI per la loro DIFFERENZA.

Quindi possiamo scrivere

x2 - x02 = (x - x0) · (x + x0

y2 - y02 = (y - y0) · (y + y0).

 

Sostituendo avremo: 

(x2 - x02)· b2 + (y2 - y02)· a2 = 0 

(x - x0) · (x + x0) · b2 + (y - y0) · (y + y0) · a2 = 0.

 

 

Il fascio di rette passante per il punto P ha equazione:

y - y0 = m (x - x0).

 

Ora sostituiamo a

(y - y0)

il corrispondente

 m (x - x0)

e avremo:

(x - x0) · (x + x0) · b2 m (x - x0) · (y + y0) · a2 = 0.

 

A questo punto dividiamo tutto per

(x - x0

ed otteniamo

(x + x0) · b2 m · (y + y0) · a2 = 0.

 

La nostra equazione, nel punto P assume i seguenti valori:

(x0 + x0) · b2 m · (y0 + y0) · a2 = 0

da cui otteniamo:

2x0b2 m2y0a2 = 0.

 

Ricaviamo il valore di m:

m2y0a2 = - 2x0b2

m = - 2x0b2/ 2y0a2

m = -x0b2/ y0a2.

 

Ora sostituiamo il coefficiente angolare appena trovato nell'equazione del fascio di rette passante per P. Avremo:

y - y0 = m (x - x0)

Formula di sdoppiamento

 

Moltiplichiamo, primo e secondo membro, per y0a2. Avremo:

y0a2 · (y - y0) = -x0b2 (x - x0).

 

Eseguiamo i calcoli:

y0a2y - a2y02 = -x0b2x + x02b2.

 

Portiamo tutto a primo membro cambiando di segno:

y0a2y - a2y02 + x0b2x - x02b2 = 0.

 

Ora noi sappiamo che nel punto P l'equazione dell'ellisse è:

b2x02 + a2y02 = a2b2.

Da cui 

- b2x02 - a2y02 = - a2b2.

 

Andiamo allora a sostituire

- b2x02 - a2y02  

con

- a2b2.

 

Quindi avremo:

y0a2y - a2y02 + x0b2x - x02b2 = 0

y0a2y + x0b2x - a2b2 = 0.

 

Portiamo a secondo membro - a2b2 cambiando di segno:

y0a2y + x0b2x = a2b2.

 

Dividiamo entrambi i membri per a2b2 e avremo:

Formula di sdoppiamento

 

Cambiamo l'ordine e scriviamo:

Formula di sdoppiamento

 

La formula appena trovata prende il nome di FORMULA DI SDOPPIAMENTO NELL'ELLISSE e ci permette di trovare l'equazione della retta tangente all'ellisse e passante per il punto P. Affinché tale formula possa essere applicata è fondamentale che P appartenga all'ellisse. La formula, quindi non è valida se P è un punto esterno all'ellisse.

Riprendiamo l'esempio visto nella lezione precedente e ipotizziamo che sia noto che il punto P appartiene all'ellisse. Vediamo come è possibile risolverlo usando le formule di sdoppiamento.

 

Esempio:

scrivere l'equazione della retta tangente all'ellisse di equazione 

Equazione dell'ellisse

nel punto

P (3; 2).

 

Sappiamo che P è il punto di tangenza, quindi esso appartiene all'ellisse. Di conseguenza possiamo impiegare le formule di sdoppiamento per risolvere il problema.

Formula di sdoppiamento

 

Sostituiamo, ai valori di x0 e y0, le coordinate del punto P:

Formula di sdoppiamento

Inoltre sappiamo che 

a2 = 15

b2 = 10.

 

Di conseguenza possiamo scrivere:

Formula di sdoppiamento

 

Risolvendo avremo:

Formula di sdoppiamento

 

Questa è l'equazione della retta tangente l'ellisse nel punto P.

Come possiamo notare abbiamo ottenuto lo stesso risultato visto nella lezione precedente.

 

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