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PUNTI SIMMETRICI rispetto all'ORIGINE degli assi

 

 



Per comprendere  

 

Nella lezione precedente abbiamo appreso quando due PUNTI sono SIMMETRICI rispetto ad un punto.

Ora, supponiamo di avere il punto A1 tale che

A1 (x1; y1).

 

Disegniamo, questo punto, sugli assi cartesiani:

 

Punti simmetrici rispetto all'origine

 

Ora vogliamo trovare il punto A2 che sia SIMMETRICO al punto A1 rispetto all'ORIGINE degli ASSI CARTESIANI che abbiamo chiamato O.

Affinché A1 e A2 siano simmetrici rispetto ad O è necessario che:

  • i punti A1, O e A2 siano ALLINEATI;

e

 

Quindi, graficamente, avremo:

 

Punti simmetrici rispetto all'origine

 

Cerchiamo di capire quali sono le coordinate del punto A2.

Poiché i punti A1 e A2 sono simmetrici rispetto all'origine, i segmenti A1O e OA2 sono congruenti. Di conseguenza l'ORIGINE DEGLI ASSI, O, non è altro che il PUNTO MEDIO dei punti A1 e A2.

 

Noi sappiamo che il PUNTO MEDIO ha le seguenti coordinate:

Coordinate del punto medio

 

E sappiamo anche che l'origine degli assi ha coordinate

O (0; 0).

 

Quindi possiamo dire che:

0 =  (x1 + x2)/ 2

e

0 =  (y1 + y2)/ 2.

 

Moltiplichiamo il primo e il secondo membro di entrambe le equazioni per 2, e avremo:

0 · 2 =  x1 + x2

e

0 · 2 =  y1 + y2.

 

Da cui:

0 =  x1 + x2

e

0 =  y1 + y2.

 

Portando a primo membro x2 e y2,e cambiando di segno si avrà:

- x2 =  x1  

e

- y2 =  y1.

 

Infine, cambiando di segno ad entrambi i membri delle due equazioni, scriveremo:

x2 = - x1  

e

 y2 = - y1.

 

Quindi possiamo dire che il punto A2 ha:

  • come ascissa l'OPPOSTO dell'ASCISSA di A1;

  • come ordinata l'OPPOSTO dell'ORDINATA di A1.

 

Di conseguenza possiamo dire che, dato un punto

A1 (x1; y1)

il suo SIMMETRICO RISPETTO ALL'ORIGINE DEGLI ASSI A2, avrà come coordinate:

A2 (-x1; -y1).

 

Esempio:

dato il punto

A1 (3; -5)

determinare il punto A2, ad esso simmetrico rispetto all'origine degli assi.

Il punto A2, simmetrico di A1 rispetto all'origine degli assi, avrà:

  • come ascissa, l'opposto dell'ascissa di A1;

  • come ordinata, l'opposto dell'ordinata di A1.

Quindi

A2 (-3; +5).

 

 

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