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IPERBOLE con FUOCHI sull'ASSE delle y

 

 



Per comprendere  

 

Nelle precedenti lezioni ci siamo occupati dell'iperbole con fuochi sull'asse delle x.

Ora andremo ad esaminare il caso in cui l'IPERBOLE ha i FUOCHI sull'ASSE DELLE y.

In questo caso la nostra iperbole si presenta così:

Iperbole con fuochi sull'asse delle y

 

 

Come possiamo notare, nella nostra IPERBOLE:

 

  • l'ORIGINE degli ASSI è anche il PUNTO MEDIO dei FUOCHI;

  • l'ASSE delle ORDINATE è la RETTA CHE CONGIUNGE i FUOCHI.

 

Ipotizziamo che i due fuochi abbiano le seguenti coordinate:

F1 (0; -c)

F2 (0; c).

 

Supponiamo, inoltre, che il generico punto P appartenente all'iperbole abbia coordinate

P (x; y).

 

Noi sappiamo che, affinché P sia un punto dell'IPERBOLE, si deve verificare la condizione:

| PF1 - PF2 | = costante.

Chiamiamo la nostra costante con 2b. Quindi possiamo scrivere:

| PF1 - PF2 | = 2b.

 

 

Ricordiamo che la distanza tra due punti è:

Distanza tra due punti

 

Sostituendo le coordinate dei punti P e F1 possiamo dire che la distanza PF1 è data da:

Distanza PF1

 

Sostituendo le coordinate dei punti P e F2 possiamo dire che la distanza PF2 è data da:

Distanza PF2

 

Quindi, la condizione

| PF1 - PF2 | = 2b

può essere scritta nel modo seguente

Equazione dell'iperbole

che equivale a scrivere

Equazione dell'iperbole

 

 

Isoliamo la prima radice a primo membro, portando la seconda radice a secondo membro e cambiandole di segno:

Equazione dell'iperbole

 

Eleviamo al quadrato primo e secondo membro ed otteniamo:

Equazione dell'iperbole

Osserviamo che ±2b elevato al quadrato, diventa +4b2 dato che un numero sia esso positivo che negativo, elevato al quadrato, diventa sempre positivo.

 

Semplifichiamo:

Equazione dell'iperbole

ed otteniamo

Equazione dell'iperbole

 

Ora isoliamo la radice a secondo membro:

Equazione dell'iperbole

e sommiamo i termini simili:

Equazione dell'iperbole

Equazione dell'iperbole

 

Dividiamo primo e secondo membro per 4:

Equazione dell'iperbole

 

Eleviamo, ancora, primo e secondo membro al quadrato:

Equazione dell'iperbole

Anche in questo caso, quando eleviamo ±b al quadrato otteniamo un numero positivo.

 

Ora ordiniamo un po' i nostri valori:

Equazione dell'iperbole

 

Ora, tra i primi due termini del primo membro mettiamo in evidenza la y2, mentre a secondo membro mettiamo in evidenza b2. Avremo:

Equazione dell'iperbole

 

Quindi poniamo

b2 = c2 - a2

da cui otteniamo

a2 = c2 - b2.

 

Come abbiamo già avuto modo di dire, esiste sempre un valore di b appartenente all'insieme dei reali positivi  R+ tali che 

b2 = c2 - a2.

Sulla spiegazione del perché di tale affermazione si veda quanto abbiamo già detto nella seconda lezione.

 

Quindi effettuiamo la nostra sostituzione e avremo:

Equazione dell'iperbole

 

Equazione dell'iperbole

 

Dividiamo entrambi i membri per a2b2 in modo da avere:

Equazione dell'iperbole

 

Ora cambiamo di segno a primo e secondo membro e otteniamo:

Equazione dell'iperbole

 

Quella che abbiamo scritto è l'EQUAZIONE dell'IPERBOLE con i FUOCHI sull'ASSE DELLE ORDINATE e CENTRO DI SIMMETRIA nell'ORIGINE DEGLI ASSI.

 

Quindi possiamo dire che:

Equazione dell'iperbole

 

è l'equazione dell'iperbole con centro di simmetria nell'origine degli assi e:

  • fuochi sull'asse delle x, quando nell'equazione abbiamo +1;

  • fuochi sull'asse delle y, quando nell'equazione abbiamo -1.

 

 

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