LezioniDiMatematica.net

 
 
 
  Torna alla Home page del sitoIscriviti alla nostra newsletter per essere informato sugli aggiornamenti del sitoContattaci       
     

          

     
     

 

EQUAZIONE della CIRCONFERENZA: alcune considerazioni

 

 



Per comprendere  

 

Nella lezione precedente abbiamo visto che l'EQUAZIONE della CIRCONFERENZA è

x2 + y2 + ax + by + c = 0.

 

Ora, facciamo alcune considerazioni su tale equazione.

La nostra è un'EQUAZIONE di SECONDO GRADO in x e y. Ricordiamo che il grado di un'equazione è dato dal GRADO MASSIMO delle sue incognite. 

Notiamo poi che sia la x2 che la y2 hanno LO STESSO COEFFICIENTE.

Infine osserviamo che nell'equazione non c'è il termine misto xy.

 

Fatte queste considerazioni ci poniamo una domanda: "Ogni equazione di secondo grado che presenta queste caratteristiche rappresenta una circonferenza?".

In altre parole: "Ogni volta che ci troviamo di fronte ad un'equazione del tipo

x2 + y2 + ax + by + c = 0

possiamo dire che siamo di fronte all'equazione di una circonferenza?"

 

Per rispondere a questa domanda, ricordiamo che (come abbiamo visto nella lezione precedente), siamo giunti all'equazione della circonferenza in forma canonica ponendo

α2 + β2 - r2 = c.

 

Ora, ricaviamo da questa equazione il valore di r2. Iniziamo col portare α2 e β2 al secondo membro cambiando loro il segno. Avremo:

  - r2 = - α2 - β2 + c.

 

Ora cambiamo di segno a tutti i termini dell'equazione:

  r2 = α2 + β2 - c.

 

Per trovare il valore di r dobbiamo estrarre la radice quadrata del primo e del secondo membro:

Raggio della circonferenza

Da cui si ottiene

Raggio della circonferenza

 

Affinché si possa estrarre la radice quadrata di un numero è necessario che esso sia positivo. Infatti, la radice quadrata è l'operazione inversa rispetto all'elevazione al quadrato. E noi sappiamo che, se eleviamo un numero reale, sia esso positivo che negativo, al quadrato otteniamo sempre un numero positivo.

Quindi affinché l'equazione rappresenti l'equazione di una circonferenza è necessario che 

α2 + β2 - c > 0.

 

Vediamo un esempio.

Data l'equazione

x2 + y2 -4x + 6y -12 = 0

stabilire se essa è l'equazione di una circonferenza.

Per prima cosa osserviamo che la nostra è un'equazione di secondo grado in x e y

Poi constatiamo che sia la x2 che la y2 hanno lo stesso coefficiente.

Ora dobbiamo verificare che 

α2 + β2 - c > 0.

 

Nella lezione precedente abbiamo posto, per giungere all'equazione della circonferenza in forma canonica,

-2α = a

-2β = b.

Ora noi conosciamo il valore di a e quello di b.

Infatti 

a = - 4

b = 6.

Per cui avremo:

-2α = - 4

-2β = 6.

 

Quindi cambiando di segno ad entrambi i membri, avremo:

2α = 4

 

e dividendo per 2 entrambi i membri:

α = 2.

 

Allo stesso modo

-2β = b

 

cambiando di segno ad entrambi i membri, avremo:

2β = - 6

 

e dividendo per 2 entrambi i membri:

β = - 3.

 

Infine noi sappiamo che

c = -12.

 

Verifichiamo allora che

α2 + β2 - c > 0.

 

Sostituiamo i valori trovati e avremo:

(2)2 + (-3)2 + 12 > 0

4 + 9 + 12 > 0

25 > 0.

 

La condizione posta è vera, quindi

x2 + y2 -4x + 6y -12 = 0

è l'equazione di una circonferenza.

 

 

  Lezione precedenteLezione successiva

Indice argomenti su equazione della circonferenza

 

Per comprendere

Tutte le altre lezioni sull'equazione della circonferenza

 

Per approfondire.

 

 

Lezioni, Esercitazioni e Approfondimenti di matematica e geometria

MATEMATICA:

GEOMETRIA:

GEOMETRIA ANALITICA:

 

 

 
 
www.SchedeDiGeografia.net

wwwStoriaFacile.net

www.EconomiAziendale.net

www.DirittoEconomia.net

www.LeMieScienze

www.MarchegianiOnLine.net

 

 

Il significato dei principali simboli usati in matematica e geometria

I nostri ebook

 

 

 

 

 

 

 


 

Ripetizioni on line di Economia Aziendale

 


Altro materiale presente presente su LezioniDiMatematica.net
Questo sito viene aggiornato senza nessuna periodicità. Non può pertanto considerarsi un prodotto editoriale ai sensi della legge n. 62 del 7.03.2001

Il materiale presente sul sito non può essere riprodotto senza esplicito consenso dell'autore

Disclaimer-Privacy

Partita IVA: 02136250681