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FASCIO di RETTE PASSANTI per un PUNTO: una diversa dimostrazione della formula

 

Per approfondire  

 

Nella lezione dedicata al FASCIO di RETTE PASSANTI per un PUNTO abbiamo detto che, dato un punto

P0 (x0; y0)

 

l'equazione del fascio di rette passanti per esso è: 

y - y0 = m (x - x0).

 

Siamo giunti a questa formula partendo dall'equazione della retta passante per l'origine degli assi ed effettuando una TRASLAZIONE degli assi che porti l'origine nel punto P0.

Esiste, però, anche un altro metodo per giungere a tale formula: lo andiamo ad illustrare di seguito.

 

Partiamo dall'equazione della retta in forma implicita:

ax + by + c = 0.

 

Dato che la retta passa per il punto

P0 (x0 ; y0)

essa dovrà soddisfare la relazione:

ax0 + by0 + c = 0.

 

Da essa ricaviamo il valore di c portando a secondo membro ax0 e by0 e cambiando loro di segno. Avremo:

 c = - ax0 - by0.

 

Ora andiamo a sostituire il valore di c, che abbiamo appena ottenuto, nell'equazione generale della retta:

ax + by + c = 0

ax + by  - ax0 - by0 = 0.

Mettiamo in evidenza:

  • a tra ax e ax0;

  • b tra bx e bx0.

 

Avremo:

a (x - x0)  + b (y  - y0) = 0.

 

Ora dividiamo le nostra equazione per b, ponendo come condizione che

b divero da zero

al fine di evitare che perda di significato. Quindi avremo:

 

a/b (x - x0)  + b/b (y  - y0) = 0

a/b (x - x0)  +  (y  - y0) = 0.

 

Lasciamo a primo membro solamente - y0  avremo:

- y0 = -a/b (x - x0).

 

Ma come ricorderemo

-a/b  = m

per cui possiamo scrivere:

y - y0 = m (x - x0).

 

Quindi si potrebbe scrivere l'EQUAZIONE DEL FASCIO DI RETTE PASSANTE PER UN PUNTO anche nel modo seguente:

a (x - x0)  + b (y  - y0) = 0

 

dato che abbiamo visto che le due formule sono identiche.

Torneremo, nel prossimo approfondimento, su queste formule.

 

Indice argomenti sull'equazione della retta

 

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