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ELEMENTI dell'IPERBOLE OMOGRAFICA

 



Per comprendere  

 

Come si è detto nella lezione precedente l'equazione

Funzione omografica

rappresenta un'IPERBOLE EQUILATERA riferita ai suoi ASINTOTI e TRASLATA rispetto agli ASSI CARTESIANI  a condizione che

c 0

e

ad bc.

 

Come si è detto nella lezione precedente, tale iperbole ha come CENTRO il punto di coordinate

Centro dell'iperbole omografica

 

Nell'iperbole equilatera riferita ai suoi asintoti  gli ASINTOTI sono le rette

x = 0

e

y = 0.

Quindi, nell'IPERBOLE OMOGRAFICA gli asintoti diventano:

x = -d/c

e

y = a/c.

 

Ora vogliamo trovare i vertici della nostra iperbole. Se

k > 0

i vertici dell'iperbole equilatera riferita ai suoi asintoti sono

Vertici dell'iperbole equilatera riferita ai suoi asintoti

 

Nella iperbole omografica noi abbiamo effettuato una traslazione e il nuovo sistema di assi è

XP0 Y

dove 

Centro dell'iperbole omografica

 

Noi sappiamo che le equazioni che ci permettono di passare alle coordinate del sistema xOy sono:

Equazioni di cambiamento degli assi di riferimento

dove x0 e y0 sono le coordinate del punto P0 che nel nostro caso sono

Iperbole omografica

 

Sostituendo tali valori avremo:

Iperbole omografica

da cui otteniamo

Vertici dell'iperbole omografica

 

Poiché sappiamo che i vertici, nel sistema di assi 

XP0 Y

hanno coordinate

Vertici dell'iperbole equilatera riferita ai suoi asintoti

possiamo facilmente ottenere le coordinate dei vertici nel sistema di assi xOy. Esse saranno:

Vertici iperbole omografica

e

Vertici iperbole omografica

 

Quindi i vertici avranno coordinate

Vertici iperbole omografica

 

Considerando sempre il caso in cui

k > 0

i FUOCHI dell'iperbole equilatera riferita ai suoi asintoti sono

Fuochi dell'iperbole equilatera riferita ai suoi asintoti

 

Nella iperbole omografica, data la traslazione effettuata i fuochi saranno

Fuochi iperbole omografica

e

Fuochi iperbole omografica

Quindi i fuochi avranno coordinate

Fuochi iperbole omografica

 

Se, invece, 

k < 0

 

avremo:

Vertici iperbole omografica

e

Fuochi iperbole omografica

 

Infine, come abbiamo visto nella lezione precedente, ricordiamo che:

Equazione iperbole omografica

quindi 

Valore di k nell'iperbole omografica

 

Nella prossima lezione vedremo, con un esempio, come possiamo applicare tali formule.

 

  Lezione precedente - Lezione successiva

Indice argomenti sull'iperbole

 

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