LezioniDiMatematica.net

 
 
 
  Torna alla Home page del sitoIscriviti alla nostra newsletter per essere informato sugli aggiornamenti del sitoContattaci       
     
   
     
     

 

DISTANZA di una RETTA dall'ORIGINE degli assi

 

 

Per comprendere  

 

Scriviamo l'equazione della retta 

ax + by + c = 0

 

e andiamo a disegnarla:

 

Distanza dall'origine di una retta

 

Indichiamo con A e B i PUNTI in cui essa INTERSECA gli ASSI CARTESIANI.

 

Distanza dall'origine di una retta

 

 

Ora vogliamo sapere qual è la DISTANZA della RETTA dall'ORIGINE degli assi. Tale distanza è individuata, nell'immagine sottostante, dal segmento OH:

 

Distanza dall'origine di una retta

 

Cerchiamo di capire come possiamo trovare la misura di tale segmento. 

Notiamo che OBA non è altro che un TRIANGOLO RETTANGOLO

Osserviamo che, qualunque sia l'inclinazione della retta, il triangolo che si ottiene è sempre rettangolo poiché gli assi cartesiani sono tra loro perpendicolari e, dunque, l'angolo O è un angolo retto.

OH non è altro che l'ALTEZZA del triangolo RELATIVA ALL'IPOTENUSA.

 

Iniziamo col trovare i PUNTI DI INTERSEZIONE della nostra retta con gli ASSI CARTESIANI. Lo facciamo risolvendo i due sistemi:

 

Distanza dall'origine di una retta

 

Risolviamo il primo sistema:

Sostituiamo il valore della y nella prima equazione e otteniamo:

ax + b · 0 + c = 0

ax + c = 0

x = -c/a.

 

Abbiamo così trovato il punto A di intersezione con l'asse delle x. Esso è:

A (-c/a ; 0).

 

 

Ora risolviamo il secondo sistema. Sostituiamo il valore della x nella prima equazione e otteniamo:

a · x + by + c = 0

by + c = 0

y = -c/b.

 

Abbiamo così trovato il punto B di intersezione con l'asse delle y. Esso è:

B (0 ; -c/a).

 

A questo punto andiamo a calcolare l'AREA DEL TRIANGOLO. Sappiamo che essa è data da base per altezza e prodotto diviso due, ovvero:

 

A = (OA · OB)/ 2.

Ma noi sappiamo che:

OA = -c/a

OB = -c/b

quindi possiamo scrivere:

Distanza dall'origine di una retta

 

Poiché l'area di una figura geometrica è sempre un valore positivo, dobbiamo prendere il valore assoluto del prodotto sopra indicato, ovvero:

Distanza dall'origine di una retta

 

Risolviamo e abbiamo:

Distanza dall'origine di una retta

 

Ora notiamo che:

  • c2 è sempre positivo trattandosi del prodotto di un numero per se stesso (e dalla regola dei segni sappiamo che il prodotto di due segni concordi è sempre positivo);

  • 2 è un numero positivo;

quindi affinché A sia positivo è sufficiente che sia positivo il prodotto tra a e b. Quindi possiamo scrivere:

Distanza dall'origine di una retta

 

Ora andiamo a trovarci l'IPOTENUSA applicando il TEOREMA DI PITAGORA. Ovvero:

 

Distanza dall'origine di una retta

 

Sostituiamo e abbiamo:

Distanza dall'origine di una retta

 

Ma poiché un numero al quadrato è sempre positivo, possiamo scrivere:

Distanza dall'origine di una retta

 

Eseguiamo i calcoli:

Distanza dall'origine di una retta

 

A numeratore mettiamo in evidenza la c:

 

Distanza dall'origine di una retta

 

Ora estraiamo la radice quadrata di c2 e di a2b2 e poniamo le sbarre di valore assoluto sempre affinché il segmento cercato sia un valore positivo:

 

Distanza dall'origine di una retta

 

Ora conosciamo l'area del triangolo e l'ipotenusa. Applicando la formula inversa dell'area sappiamo che l'altezza (in questo caso relativa all'ipotenusa) è data dal rapporto tra doppia area e ipotenusa. Ovvero:

 

Distanza dall'origine di una retta

 

Andiamo a sostituire i valori precedentemente ottenuti ed avremo:

Distanza dall'origine di una retta

 

Quindi, data la retta di equazione

ax + by + c = 0

 

la DISTANZA dell'ORIGINE da tale RETTA è

distanza dell'origine da una retta

 

Nella prossima lezione vedremo come applicare tale formula a dei casi concreti.

 

 

Lezione precedente - Lezione successiva

Indice argomenti su equazione della retta

 

Per comprendere

Tutte le altre lezioni sull'equazione della retta

 

 

 

Lezioni, Esercitazioni e Approfondimenti di matematica e geometria

MATEMATICA:

GEOMETRIA:

GEOMETRIA ANALITICA:

 

 

 
Trova l'insegnante perfetto per le tue ripetizioni
 
www.SchedeDiGeografia.net
 
wwwStoriaFacile.net
 
www.EconomiAziendale.net
 
www.DirittoEconomia.net
 
www.LeMieScienze
 
www.MarchegianiOnLine.net
 
Il significato dei principali simboli usati in matematica e geometria

 

I nostri ebook

 

 

 

 

 

 

 

 

Ripetizioni on line di Economia Aziendale

 

Altro materiale presente presente su LezioniDiMatematica.net
Questo sito viene aggiornato senza nessuna periodicità. Non può pertanto considerarsi un prodotto editoriale ai sensi della legge n. 62 del 7.03.2001

Il materiale presente sul sito non può essere riprodotto senza esplicito consenso dell'autore

Disclaimer-Privacy

Partita IVA: 02136250681