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IPERBOLE EQUILATERA riferita ai suoi asintoti

 



Per comprendere  

 

Nella lezione precedente abbiamo parlato dell'IPERBOLE EQUILATERA con CENTRO nell'ORIGINE degli ASSI e riferita agli ASSI CARTESIANI.

Esiste, però, anche un'altra IPERBOLE EQUILATERA, che ha il CENTRO sempre nell'ORIGINE degli ASSI, ma è riferita ai suoi ASINTOTI.

Essa si può presentare in uno dei due modi che seguono:

  1. l'iperbole è situata nel PRIMO e TERZO quadrante

Iperbole equilatera rispetto ai suoi asintoti

 

  1. l'iperbole è situata nel SECONDO e QUARTO quadrante

Iperbole equilatera rispetto ai suoi asintoti

 

Questo tipo di iperbole ha, esattamente come l'iperbole equilatera riferita agli assi, il SEMIASSE TRAVERSO UGUALE al SEMIASSE NON TRAVERSO, cioè:

a = b.

 

L'IPERBOLE EQUILATERA riferita agli ASINTOTI ha:

  • il CENTRO nell'origine degli assi (come l'iperbole equilatera riferita agli assi);

  • gli ASSI CARTESIANI come ASINTOTI;

  • i FUOCHI situati o sulla BISETTRICE del PRIMO e del TERZO QUADRANTE oppure sulla BISETTRICE del SECONDO e del QUARTO QUADRANTE

Iperbole equilatera riferita agli asintoti

 

Iperbole equilatera riferita agli asintoti

 

Le due iperboli appena viste si dicono anche IPERBOLE EQUILATERA RUOTATA di 45° (in senso orario nel primo caso e antiorario nel secondo) in quanto ottenute dall'iperbole equilatera riferita agli assi attraverso una rotazione.

 

 

Vediamo ora qual è l'equazione di questa curva. Partiamo dal caso in cui i FUOCHI sono situati sulla BISETTRICE del PRIMO e TERZO QUADRANTE. Ovviamente anche i VERTICI sono situati su tale bisettrice come si può vedere dall'immagine sotto:

Iperbole equilatera riferita agli asintoti

 

Questa iperbole nasce dalla rotazione in senso antiorario della iperbole equilatera riferita agli assi che nell'immagine sottostante abbiamo disegnato in viola:

Iperbole equilatera riferita agli asintoti

Sappiamo, quindi che:

V1 (a; 0)

Fuoco iperbole equilatera riferita agli assi

 

Ora, il segmento OV1 sarà congruente con il segmento OV1 e di conseguenza sarà pari ad a. Quindi:

OV1 = a.

 

Il segmento OF1 sarà congruente con il segmento OF1 e di conseguenza sarà pari ad a per radice di 2. Quindi:

Iperbole equilatera

 

 

Come si può notare il segmento OH è congruente con il segmento F1H. E, poiché  il segmento OH non è altro che il semiasse traverso dell'iperbole viola, esso è pari ad a. Quindi possiamo scrivere:

OH = F1H = a.

 

Possiamo giungere a questo risultato anche applicando il teorema di Pitagora: infatti il segmento F1H è uno dei cateti del triangolo OF1H. Quindi possiamo scrivere

 F1H2 = OF12 - OV12

Iperbole equilatera rispetto agli asintoti

 

Questo significa che l'ascisse del punto F1 è a. Poiché tale punto si trova sulla bisettrice del primo e del terzo quadrante, anche l'ordinata del punto F1 è a. Quindi possiamo scrivere:

F1 (a; a)

e di conseguenza

F2 (-a; -a)

 

Applichiamo ora la definizione di iperbole. Un punto P (x; y) appartiene all'iperbole se:

Iperbole equilatera rispetto agli asintoti

Sostituiamo le coordinate di F1 e F2 e risolviamo:

Iperbole equilatera rispetto agli asintoti

Iperbole equilatera rispetto agli asintoti

 

Ora poniamo

a2/2 = k

e scriviamo l'EQUAZIONE dell'IPERBOLE EQUILATERA riferita ai suoi ASINTOTI nel modo seguente

xy = k.

 

Se noi avessimo ruotato l'iperbole in modo da averla nel secondo e nel quarto quadrante, i fuochi avrebbero avuto come coordinate 

F1 (-a; a) 

e 

F2 (a; -a) 

e attraverso i vari passaggi visti, avremmo trovato che l'equazione dell'iperbole è:

xy = -(a2/2) = -k.

 

Quindi possiamo dire che l'equazione 

xy = ±k

è l'equazione dell'iperbole equilatera riferita ai suoi asintoti e il valore di k sarà positivo o negativo a seconda dei quadranti nei quali sono collocati i rami dell'iperbole.

Nella prossima lezione continueremo l'esame di tale iperbole.

 

 

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