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DISTANZA di un PUNTO da una RETTA

 

 

Per comprendere  

 

Dopo aver visto, nella lezione precedente come possiamo calcolare la distanza di una retta dall'origine degli assi, ora ci poniamo come obiettivo quello di determinare la DISTANZA di una RETTA da un PUNTO

 

Sia il punto 

P0 ( x0 ; y0)

un generico punto. 

Vogliamo sapere qual è la sua distanza dalla retta 

ax + by + c = 0.

 

Distanza di un punto da una retta

 

In altre parole si tratta di trovare la lunghezza del segmento P0H. Notiamo che le coordinate del punto H sono x e y.

 

Ora effettuiamo una TRASLAZIONE degli ASSI in modo da portare l'origine in P0:

Distanza di un punto da una retta

 

Le coordinate del punto H sul nuovo sistema di assi (quello indicato in viola) sono x' e y'.

La relazione che lega le coordinate del punto H sul sistema di assi avente O come origine (ed indicato in nero) e il sistema di assi avente come origine P0 (ed indicato in viola) è data da:

Distanza di un punto da una retta

 

Da essa ricaviamo i valori di x e di y, ovvero:

Distanza di un punto da una retta

 

L'EQUAZIONE della RETTA nel nuovo sistema di assi aventi P0 come origine si ottiene sostituendo ad x e ad y i termini indicati nei secondi membri delle precedenti due equazioni:

ax + by + c = 0

a (x' + x0) + b (y' + y0) + c = 0

ax' + ax0 + by' + by0 + c = 0

ax' + by' + ax0 + by0 + c = 0.

 

In questa nuova equazione le nostre incognite sono ax' e by', mentre ax0 + by0 + c rappresentano il termine noto:

Distanza di un punto da una retta

 

Noi sappiamo, dalla lezione precedente, che la DISTANZA di una retta dall'ORIGINE degli assi, è data dalla formula:

distanza dell'origine da una retta

 

Applichiamo, dunque, questa formula per determinare la distanza della retta dall'origine P0. Ovviamente dovremo utilizzare, a tal fine, l'equazione della retta appena scritta e riferita al sistema di assi aventi P0 come origine.

Quindi avremo:

Distanza di un punto da una retta

 

che ovviamente potrà essere scritta anche come:

Distanza di un punto da una retta

 

 

Vediamo un esempio di applicazione di tale formula.

 

Esempio:

determinare la distanza tra il punto P(-3; 2) e la retta di equazione 

4x + 2y + 1 =0.

 

Nel nostro esempio abbiamo che:

x0 = -3

y0 = 2

a = 4

b = 2

c = 1.

 

Quindi la formula diventa

Distanza di un punto da una retta

 

La distanza cercata è 1,57.

 

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