EQUAZIONI GONIOMETRICHE: COME SI RISOLVONO

 

In questa lezione ricapitoleremo, attraverso una tabella, le regole di risoluzione delle equazioni goniometriche che abbiamo visto nelle lezioni precedenti a cui si rimanda per un esame più approfondito.

Per tutte le soluzione si intende sempre:

k Z

che si legge

con k appartenente all'insieme dei numeri relativi


Le soluzioni indicate in azzurro stanno ad indicare che l'equazione viene ricondotta ad un'altro dei tipi esposti in tabella.


Tipo di equazione Condizione Soluzione
sen x = a -1 ≤ a ≤ + 1 x = α + 2kπ   ∨   x = (π - α) + 2kπ
cos x = b -1 ≤ a ≤ + 1 x = ±α +2kπ
tan x = c x ≠ π/2 + kπ x = α + kπ
cot x = n x ≠ kπ tan x = 1/n
sec x = n n ≤ -1
n ≥ -1
x ≠ π/2 + kπ
cos x = 1/n
cosec x = n n ≤ -1
n ≥ -1
x ≠ kπ
sen x = 1/n
sen α = sen α'   α = α' + 2kπ   ∨   α + α' = π + 2kπ
cos α = cos α'   α = ± α' + 2kπ
tan α = tan α'   α = α' + kπ
cotan α = cotan α'   tan (π/2 - α) = tan (π/2 - α')
sen α = - sen α'   sen α = sen (-α')
cos α = - cos α'   cos α = cos (π - α')
tan α = - tan α'   tan α = tan (-α')
cotan α = - cotan α'   tan (π/2 - α) = - tan (π/2 - α')
sen α = cos α'   sen α = sen (π/2 - α')
sen α = - cos α'   sen α = sen (α' - π/2)
a sen2x + b sen x + c = 0   sen x = y
ay2 + by + c = 0
a cos2x + b cos x + c = 0   cos x = y
ay2 + by + c = 0
a tan2x + b tan x + c = 0   tan x = y
ay2 + by + c = 0
a cot2x + b cot x + c = 0   cot x = y
ay2 + by + c = 0
a sen x + b cos x = 0   tan x = -b/a
a sen x + b cos x + c = 0   sen x = 2t/(1 + t2)
cos x = (1 - t2)/(1 + t2)
t = tan x/2

prima di effettuare la sostituzione verificare se x = π + 2kπ è o no soluzione dell'equazione data
a sen x + b cos x + c = 0   Soluzioni di equazioni lineari in seno e coseno
poniamo cos x = X   sen x = Y

Soluzioni di equazioni lineari in seno e coseno
a sen x + b cos x + c = 0   Soluzioni di equazioni lineari in seno e coseno
tan α = b/a
r sen (x + α) = -c
b sen x cos x + c cos2 x = 0   cos x (b sen x + c cos x) = 0
a sen2 x + b sen x cos x = 0   sen x (a sen x + b cos x) = 0
a sen2 x + b sen x cos x + c cos2 x = 0   a tan2 x + b tan x + c = 0
y = tan x
ay2 + by + c = 0
a sen2 x + b sen x cos x + c cos2 x = d   a sen2 x + b sen x cos x + c cos2 x = d (sen2 x + cos22 x)
equazioni goniometriche simmetriche   x = y + π/4


Nella tabella che segue, invece, andiamo a riportare alcune equazioni goniometriche molto frequenti delle quali viene indicato il risultato.


Equazione Soluzione
sen x = 1 x = π/2 + 2kπ
sen x = -1 x = 3π/2 + 2kπ
sen x = 0 x = kπ
cos x = 1 x = 2kπ
cos x = -1 x = π + 2kπ
cos x = 0 x = π/2 + kπ
tan x = 1 x = π/4 + kπ


 
 
 
Il nostro sito collabora ad una ricerca condotta dall'Università dell'Aquila e dall'Università di Pavia sulla didattica della matematica. Ti saremmo grati se volessi dedicarci alcuni minuti rispondendo ad un breve questionario.

Compila il questionario


SchedeDiGeografia.net
StoriaFacile.net
EconomiAziendale.net
DirittoEconomia.net
LeMieScienze.net
MarchegianiOnLine.net