EQUAZIONI LINEARI IN SENO E COSENO

METODO DEL PASSAGGIO A SISTEMA

Per comprendere meglio questo argomento, leggi prima le seguenti lezioni:
 

Nella lezione precedente abbiamo visto come si possono risolvere le EQUAZIONI LINEARI IN SENO E COSENO, applicando il METODO DELLE FORMULE PARAMETRICHE.

In questa lezione andremo a vedere come possiamo risolvere le stesse equazioni applicando il METODO DEL PASSAGGIO A SISTEMA, chiamato anche METODO GRAFICO.


Applicando questo metodo, per risolvere l'equazione

a sen x + b cos x + c = 0

con

c ≠ 0

andiamo a scrivere un SISTEMA di due equazioni, nel quale:


Risoluzione di equazioni lineari in seno e coseno


Quindi poniamo:

cos x = X

sen x = Y

Sostituiamo nel sistema scritto in precedenza ed otteniamo:

Risoluzione di equazioni lineari in seno e coseno


A questo punto si tratterà di risolvere il sistema formato da un'equazione di primo grado ed una di secondo grado. Procederemo nel modo seguente:

  • andremo a trovare nella prima equazione, il valore di una incognita (ad esempio la X);
  • andremo a sostituire il valore trovato nella seconda equazione che diventerà un'equazione ad una sola incognita (nel nostro esempio la Y). Ed andremo a risolvere questa seconda equazione.

    Risolvendo la seconda equazione si possono verificare tre casi diversi:

    • la seconda equazione ammette due soluzioni reali e distinte (Y1 ed Y2). Sostituiamo tali valori nella prima equazione e troviamo i due valori dell'altra incognita (X1 ed X2).

      Il sistema, quindi, ammette due coppie di soluzioni X1, Y1 e X2, Y1.

      Ricordando che, inizialmente, avevamo posto:

      cos x = X

      sen x = Y

      dovremo andare a risolvere due sistemi:

      Risoluzione di equazioni lineari in seno e coseno


      Le soluzioni del sistema lineare in seno e coseno sono date dalle soluzioni del primo o del secondo sistema o di entrambi;


    • la seconda equazione ammette due soluzioni reali e coincidenti (Y1). Sostituiamo tale valore nella prima equazione e troviamo il valore dell'altra incognita (X1).

      Ricordando che, inizialmente, avevamo posto:

      cos x = X

      sen x = Y

      dovremo andare a risolvere il sistema:

      Risoluzione di equazioni lineari in seno e coseno


      Le soluzioni di tale sistema sono anche le soluzioni dell'equazione lineare in seno e coseno;


    • la seconda equazione non ammette soluzioni reali e, di conseguenza, neppure il sistema ammette soluzioni.

      In questo caso, l'equazione lineare in seno e coseno è impossibile.



Vediamo un esempio per capire meglio quanto abbiamo esposto.

Esempio:

Risoluzione di equazioni lineari in seno e coseno


Mettiamo a sistema con la prima relazione fondamentale della goniometria:

Risoluzione di equazioni lineari in seno e coseno


A questo punto poniamo:

cos x = X

e

sen x = Y


e il nostro sistema diventa:

Risoluzione di equazioni lineari in seno e coseno


Ricaviamo, dalla prima equazione, il valore di Y:

Risoluzione di equazioni lineari in seno e coseno


Sostituiamo tale valore nella seconda equazione:

Risoluzione di equazioni lineari in seno e coseno


ed andiamo a risolvere:

Risoluzione di equazioni lineari in seno e coseno


Ora andiamo a sostituire i valori di X1 e di X2 nella prima equazione, in modo da trovare i corrispondenti valori Y1 e Y2:

  • per

    X1 = 0

    avremo:

    Risoluzione di equazioni lineari in seno e coseno

  • per

    Risoluzione di equazioni lineari in seno e coseno

    avremo:

    Risoluzione di equazioni lineari in seno e coseno


A questo punto abbiamo due sistemi:

Risoluzione di equazioni lineari in seno e coseno

Sostituiamo ad X il coseno di x e ad Y il seno di y ed otteniamo:

Risoluzione di equazioni lineari in seno e coseno

Ora non ci resta che risolvere le equazioni goniometriche elementari nel seno e nel coseno:

Risoluzione di equazioni lineari in seno e coseno

Queste sono le soluzioni dell'equazione lineare data.



Come si è detto prima, questo metodo è detto anche METODO GRAFICO in quanto:

Di conseguenza, risolvere questo sistema significa trovare i PUNTI DI INTERSEZIONE tra la retta e la circonferenza. Sull'argomento rimandiamo a quanto detto nella lezione "Posizione di una retta rispetto ad una circonferenza".


Nella prossima lezione concluderemo l'argomento delle equazioni lineari in seno e coseno vedendo l'ultimo possibile metodo di risoluzione, ovvero quello dell'angolo aggiunto.



 
 
 
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