PARTICOLARI EQUAZIONI GONIOMETRICHE ELEMENTARI

Per comprendere meglio questo argomento, leggi prima le seguenti lezioni:
 

Dopo aver visto, nella precedente lezione, quali sono i diversi tipi di EQUAZIONI GONIOMETRICHE PARTICOLARI, in questa lezione inizieremo a vedere come si risolve il primo gruppo di queste equazioni, ovvero quelle nelle quali compare, sia a primo membro che a secondo membro, la STESSA FUNZIONE GONIOMETRICA, mentre è DIVERSO l'ANGOLO.

Le equazioni di cui stiamo parlando sono le seguenti:

sen α = sen α'

cos α = cos α'

tan α = tan α'



Partiamo dalla prima di queste equazioni:

sen α = sen α'

Chiediamoci quando due ANGOLI DIVERSI hanno lo STESSO SENO.

Ciò avviene solamente in due casi:

  • prima di tutto, ovviamente, quando i due angoli sono CONGRUENTI, ovvero quando

    α = α'

  • in secondo luogo quando i due angoli sono SUPPLEMENTARI, ovvero quando

    α + α' = π


Tenendo conto della PERIODICITA' della funzione seno possiamo scrivere che la soluzione della nostra equazione è:

α = α' + 2kπ

α + α' = π + 2kπ.


Esempio:

Risoluzione di particolari equazioni goniometriche elementari


Le due soluzioni sono:

Risoluzione di particolari equazioni goniometriche elementari


Risolviamo la prima:

Risoluzione di particolari equazioni goniometriche elementari


Risolviamo la seconda:

Risoluzione di particolari equazioni goniometriche elementari


Le soluzioni dell'equazione sono:

Risoluzione di particolari equazioni goniometriche elementari




Passiamo alla seconda equazione:

cos α = cos α'

In quetso caso dobbiamo chiederci quando due ANGOLI DIVERSI hanno lo STESSO COSENO.

Sappiamo che ciò avviene solamente in due casi:

  • il primo caso è, ovviamente, quello nel quale i due angoli sono CONGRUENTI, ovvero quando

    α = α'

  • il secondo caso è quando i due angoli sono OPPOSTI, ovvero quando

    α = - α'


Tenendo conto della PERIODICITA' della funzione coseno possiamo scrivere che la soluzione della nostra equazione è:

α = α' + 2kπ

α = - α' + 2kπ

che possiamo sintetizzare scrivendo;

α = ± α' + 2kπ



Esempio:

Risoluzione di particolari equazioni goniometriche elementari


da cui otteniamo due soluzioni:

Risoluzione di particolari equazioni goniometriche elementari


Risolviamo la prima:

Risoluzione di particolari equazioni goniometriche elementari


Risolviamo la seconda:

Risoluzione di particolari equazioni goniometriche elementari


Le soluzioni dell'equazione sono:

Risoluzione di particolari equazioni goniometriche elementari


Vediamo l'ultima equazione di questo gruppo:

tan α = tan α'

Come sempre ci andiamo a chiedere quando due ANGOLI DIVERSI hanno la STESSA TANGENTE.

Ciò avviene solamente quando i due angoli sono CONGRUENTI, ovvero quando

α = α'.

Tenendo conto della PERIODICITA' della funzione tangente possiamo scrivere che la soluzione della nostra equazione è:

α = α' + kπ

Esempio:

Risoluzione di particolari equazioni goniometriche elementari


La soluzione la si ottiene ponendo:

Risoluzione di particolari equazioni goniometriche elementari


da cui risolvendo si avrà:

Risoluzione di particolari equazioni goniometriche elementari



Forse vi starete chiedendo come mai non abbiamo compreso, in questo gruppo di equazioni, anche quella con la COTANGENTE, ovvero l'equazione

cotan α = cotan α'


Il motivo è che questa equazione viene ricondotta ad un'equazione del tipo:

tan α = tan α'


In che modo? Ricordando la proprietà degli ANGOLI COMPLEMENTARI secondo la quale

cotan α = tan (π/2 - α)

Di conseguenza, la nostra equazione, diventa:

tan (π/2 - α) = tan (π/2 - α')



 
 
 
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