EQUAZIONI LINEARI IN SENO E COSENO
Si chiamano EQUAZIONI LINERAI IN SENO E COSENO quelle equazioni che si presentano nella forma:
a sen x + b cos x + c = 0.
Quindi si tratta di un'equazione:
- LINEARE, cioè di primo grado;
- ad una sola INCOGNITA, la x;
- in SENO e COSENO, perché nell'equazione sono presenti il seno di x, il coseno di x ed un termine noto, ovvero c.
Per risolvere questo tipo di equazioni dobbiamo distinguere due casi:
- il primo caso si ha quando c = 0. In questa ipotesi si parla di EQUAZIONI LINEARI IN SENO E COSENO OMOGENEE;
- il secondo caso si ha quando c ≠ 0. In questa ipotesi si parla di EQUAZIONI LINEARI IN SENO E COSENO NON OMOGENEE
In questa lezione andremo a vedere come si risolvono le equazioni lineari in seno e coseno, quando c = 0.
Mentre il caso in cui c ≠ 0 lo esamineremo nella prossima lezione.
Quando
c = 0
l'equazione diventa:
a sen x + b cos x = 0
Chiaramente a e b sono sicuramente DIVERSI DA ZERO perché:
- se a fosse uguale a zero, l'equazione avrebbe la seguente forma
b cos x = 0
che, dividendo primo e secondo membro per b diverrebbe un'equazione goniometrica elementare nel coseno;
- se b fosse uguale a zero, l'equazione avrebbe la seguente forma
a sen x = 0
che, dividendo primo e secondo membro per a diverrebbe un'equazione goniometrica elementare nel seno.
Per risolvere la nostra equazione, dividiamo, primo e secondo membro, per cos x. Possiamo farlo senz'altro senza dover porre come condizione
cos x ≠ 0.
Cerchiamo di capire il perché.
Se il coseno di x fosse uguale a zero l'equazione diverrebbe:
a sen x = 0
Dato che abbiamo detto che sicuramente a è diverso da zero, l'unico modo perché l'equazione si annulli è che il seno di x sia uguale a zero. Ma noi sappiamo che quando il coseno di x è uguale a zero, il seno di x è diverso da zero. Infatti, ad esempio, il coseno di x è uguale a zero quando x è uguale a π/2. Ma quando l'angolo è pari a π/2 il seno è uguale ad 1. Così pure il coseno di x è uguale a zero quando x è uguale a 3π/2. Ma quando l'angolo è pari a 3π/2 il seno è uguale a -1.
Quindi, certamente cos x =0 non è soluzione della nostra equazione.
Appurato ciò, possiamo procedere con la divisione:
Il rapporto tra seno e coseno dell'angolo x non è altro che la TANGENTE di tale angolo. Quindi possiamo scrivere:
a tan x + b = 0
Portiamo b a secondo membro cambiando di segno
a tan x = - b
E dividiamo primo e secondo membro per a
tan x = -b/a.
Abbiamo così trasformato la nostra equazione lineare in seno e coseno in un'EQUAZIONE GONIOMETRICA ELEMENTARE NELLA TANGENTE.
Esempio:
Dividiamo tutto per cos x ed otteniamo
A questo punto non ci resta che risolvere così come abbiamo visto parlando delle equazioni goniometriche elementari nella tangente. La soluzione è:
x = (11/6)π + kπ
Nella prossima lezione andremo a vedere come si risolvono le equazioni lineari in seno e coseno nel caso in cui c è diverso da zero.
