EQUAZIONI LINEARI IN SENO E COSENO

Per comprendere meglio questo argomento, leggi prima le seguenti lezioni:
 

Si chiamano EQUAZIONI LINERAI IN SENO E COSENO quelle equazioni che si presentano nella forma:

a sen x + b cos x + c = 0.


Quindi si tratta di un'equazione:

  • LINEARE, cioè di primo grado;
  • ad una sola INCOGNITA, la x;
  • in SENO e COSENO, perché nell'equazione sono presenti il seno di x, il coseno di x ed un termine noto, ovvero c.

Per risolvere questo tipo di equazioni dobbiamo distinguere due casi:

  • il primo caso si ha quando c = 0. In questa ipotesi si parla di EQUAZIONI LINEARI IN SENO E COSENO OMOGENEE;
  • il secondo caso si ha quando c ≠ 0. In questa ipotesi si parla di EQUAZIONI LINEARI IN SENO E COSENO NON OMOGENEE

In questa lezione andremo a vedere come si risolvono le equazioni lineari in seno e coseno, quando c = 0.

Mentre il caso in cui c ≠ 0 lo esamineremo nella prossima lezione.


Quando

c = 0

l'equazione diventa:

a sen x + b cos x = 0


Chiaramente a e b sono sicuramente DIVERSI DA ZERO perché:


Per risolvere la nostra equazione, dividiamo, primo e secondo membro, per cos x. Possiamo farlo senz'altro senza dover porre come condizione

cos x ≠ 0.

Cerchiamo di capire il perché.

Se il coseno di x fosse uguale a zero l'equazione diverrebbe:

a sen x = 0

Dato che abbiamo detto che sicuramente a è diverso da zero, l'unico modo perché l'equazione si annulli è che il seno di x sia uguale a zero. Ma noi sappiamo che quando il coseno di x è uguale a zero, il seno di x è diverso da zero. Infatti, ad esempio, il coseno di x è uguale a zero quando x è uguale a π/2. Ma quando l'angolo è pari a π/2 il seno è uguale ad 1. Così pure il coseno di x è uguale a zero quando x è uguale a 3π/2. Ma quando l'angolo è pari a 3π/2 il seno è uguale a -1.

Quindi, certamente cos x =0 non è soluzione della nostra equazione.

Appurato ciò, possiamo procedere con la divisione:

Risoluzione equazioni lineari in seno e coseno


Il rapporto tra seno e coseno dell'angolo x non è altro che la TANGENTE di tale angolo. Quindi possiamo scrivere:

a tan x + b = 0

Portiamo b a secondo membro cambiando di segno

a tan x = - b

E dividiamo primo e secondo membro per a

tan x = -b/a.

Abbiamo così trasformato la nostra equazione lineare in seno e coseno in un'EQUAZIONE GONIOMETRICA ELEMENTARE NELLA TANGENTE.



Esempio:

Risoluzione di equazioni lineari in seno e coseno


Dividiamo tutto per cos x ed otteniamo

Risoluzione di equazioni lineari in seno e coseno


A questo punto non ci resta che risolvere così come abbiamo visto parlando delle equazioni goniometriche elementari nella tangente. La soluzione è:

x = (11/6)π + kπ



Nella prossima lezione andremo a vedere come si risolvono le equazioni lineari in seno e coseno nel caso in cui c è diverso da zero.



 
 
 
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