EQUAZIONI GONIOMETRICHE ELEMENTARI DEL TIPO

tan x = c

Per comprendere meglio questo argomento, leggi prima le seguenti lezioni:
 

Dopo aver parlato delle equazioni goniometriche nel seno e delle equazioni goniometriche nel coseno ora andiamo ad occuparci delle EQUAZIONI GONIOMETRICHE ELEMENTARI NELLA TANGENTE che si presentano nella seguente forma:

tan x = c

con c appartenente all'insieme dei numeri reali.

A differenza di ciò che accade per il seno e per il coseno, dove rispettivamente a e b devono essere compresi tra -1 e +1, in questo caso c può assumere qualsiasi valore appartentente all'insieme dei numeri reali.


E' però necessario osservare che, poiché la tangente di un angolo non è altro che il rapporto tra il seno e il coseno dell'angolo stesso, scrivere:

tan x = c

equivale a scrivere

sen x/cos x = c

Quindi, affinché la frazione non perda di significato è necessario che il coseno di x sia DIVERSO DA ZERO.

Noi sappiamo che il coseno di un arco è diverso da zero, quando l'arco è diverso da π/2 + kπ, quindi possiamo affermare che la soluzione da noi trovata dovrà essere diversa da π/2 + kπ, ovvero:

x ≠ π/2 + kπ

con

k Z.


Vediamo come risolvere questo tipo di equazioni e partiamo disegnando la CIRCONFERENZA GONIOMETRICA:

Circonferenza goniometrica


Come sempre, andiamo ad indicare gli assi cartesiani rispettivamente con X ed Y MAIUSCOLI in modo da non confonderli con l'incognita x.

La tangente di un angolo è l'ordinata del punto in cui, la retta tangente alla circonferenza goniometrica nel suo punto di ascissa 1, incontra il prolungamento del secondo lato dell'angolo.

Quindi disegniamo la retta r e su di essa indichiamo il segmento c. Tracceremo il segmento:

  • partendo dal punto A, ovvero dal punto di intersezione della retta r con la circonferenza goniometrica, e andando verso l'ALTO se c è POSITIVO;
  • partendo dal punto A e andando verso il BASSO se c è NEGATIVO.

Noi ipotizziamo che c sia un numero positivo.

Equazioni goniometriche elementari


Ora, partendo dall’estremo libero di c, andiamo a tracciare il segmento che unisce il segmento c al centro della circonferenza goniometrica

Equazioni goniometriche elementari


Abbiamo, così, individuato l'angolo α la cui tangente è c.

Equazioni goniometriche elementari


Se, disegniamo il prolungamento di tale segmento, verso sinistra rispetto all'origine della circonferenza goniometrica, troviamo anche un secondo angolo la cui tangente è pari a c.

Equazioni goniometriche elementari


Questo secondo angolo sappiamo che è l'angolo π + α.

Quindi possiamo dire che le soluzioni della nostra equazione goniometrica sono:

x = α

oppure

x = π + α

o entrambe.


 
Per approfondire questo argomento, leggi:
 
 
 
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