EQUAZIONI GONIOMETRICHE ELEMENTARI DEL TIPO
tan x = c
Dopo aver parlato delle equazioni goniometriche nel seno e delle equazioni goniometriche nel coseno ora andiamo ad occuparci delle EQUAZIONI GONIOMETRICHE ELEMENTARI NELLA TANGENTE che si presentano nella seguente forma:
tan x = c
con c appartenente all'insieme dei numeri reali.
A differenza di ciò che accade per il seno e per il coseno, dove rispettivamente a e b devono essere compresi tra -1 e +1, in questo caso c può assumere qualsiasi valore appartentente all'insieme dei numeri reali.
E' però necessario osservare che, poiché la tangente di un angolo non è altro che il rapporto tra il seno e il coseno dell'angolo stesso, scrivere:
tan x = c
equivale a scrivere
sen x/cos x = c
Quindi, affinché la frazione non perda di significato è necessario che il coseno di x sia DIVERSO DA ZERO.
Noi sappiamo che il coseno di un arco è diverso da zero, quando l'arco è diverso da π/2 + kπ, quindi possiamo affermare che la soluzione da noi trovata dovrà essere diversa da π/2 + kπ, ovvero:
x ≠ π/2 + kπ
con
Vediamo come risolvere questo tipo di equazioni e partiamo disegnando la CIRCONFERENZA GONIOMETRICA:
Come sempre, andiamo ad indicare gli assi cartesiani rispettivamente con X ed Y MAIUSCOLI in modo da non confonderli con l'incognita x.
La tangente di un angolo è l'ordinata del punto in cui, la retta tangente alla circonferenza goniometrica nel suo punto di ascissa 1, incontra il prolungamento del secondo lato dell'angolo.
Quindi disegniamo la retta r e su di essa indichiamo il segmento c. Tracceremo il segmento:
- partendo dal punto A, ovvero dal punto di intersezione della retta r con la circonferenza goniometrica, e andando verso l'ALTO se c è POSITIVO;
- partendo dal punto A e andando verso il BASSO se c è NEGATIVO.
Noi ipotizziamo che c sia un numero positivo.
Ora, partendo dall’estremo libero di c, andiamo a tracciare il segmento che unisce il segmento c al centro della circonferenza goniometrica
Abbiamo, così, individuato l'angolo α la cui tangente è c.
Se, disegniamo il prolungamento di tale segmento, verso sinistra rispetto all'origine della circonferenza goniometrica, troviamo anche un secondo angolo la cui tangente è pari a c.
Questo secondo angolo sappiamo che è l'angolo π + α.
Quindi possiamo dire che le soluzioni della nostra equazione goniometrica sono:
x = α
oppure
x = π + α
o entrambe.
