EQUAZIONI RICONDUCIBILI AD EQUAZIONI OMOGENEE DI SECONDO GRADO IN SENO E COSENO

Per comprendere meglio questo argomento, leggi prima le seguenti lezioni:
 

In questa lezione andremo a vedere un tipo di EQUAZIONI GONIOMETRICHE che possono essere risolte trasformandole in EQUAZIONI OMOGENEE DI SECONDO GRADO IN SENO E COSENO.


Le equazioni di cui stiamo parlando si presentano nella forma:

a sen2 x + b sen x cos x + c cos 2 x = d


Ricordiamo che le equazioni omogenee di secondo grado in seno e coseno si presentano nella forma

a sen2 x + b sen x cos x + c cos 2 x = 0


Quindi, la differenza tra queste due equazioni sta nel TERMINE NOTO che, nella equazione omogenea di secondo grado in seno e coseno, è pari a zero:

a sen2 x + b sen x cos x + c cos 2 x = d

a sen2 x + b sen x cos x + c cos 2 x = 0



Vediamo come è possibile trasformare questo tipo di equazione in modo da ricondurla ad una'equazione omogenea di secondo grado in seno e coseno.


Partiamo dall'equazione che dobbiamo risolvere:

a sen2 x + b sen x cos x + c cos 2 x = d


La PRIMA RELAZIONE FONDAMENTALE DELLA GONIOMETRIA ci dice che

sen2 x + cos2 x = 1


Andiamo, quindi, a moltiplicare d per sen2 x + cos2 x: poiché la somma del sen2 x + cos2 x è uguale ad 1, effettuare questo prodotto significa moltiplicare d per 1 e, di conseguenza, l'equazione non cambia:

a sen2 x + b sen x cos x + c cos 2 x = d (sen2 x + cos2 x )

da cui ricaviamo:

a sen2 x + b sen x cos x + c cos 2 x = d sen2 x + d cos2 x



A questo punto si tratterà semplicemente di eseguire i calcoli e ci troveremo a dover risolvere un'EQUAZIONE OMOGENEA DI SECONDO GRADO IN SENO E COSENO. Iniziamo col portare tutti i termini a primo membro cambiando loro di segno:

a sen2 x + b sen x cos x + c cos 2 x - d sen2 x - d cos2 x = 0


Mettiamo in evidenza il seno e il coseno di x ed otteniamo:

(a - d) sen2 x + b sen x cos x + (c - d) cos 2 x = 0


Abbiamo così trasformato la nostra equazione in un'EQUAZIONE OMOGENEA DI SECONDO GRADO IN SENO E COSENO.



Esempio:

2 sen2 x + 3 sen x cos x - cos2 x = 2.

Nel nostro esempio:

d = 2

Moltiplichiamo 2 per (sen2 x + cos2 x) ed abbiamo:

2 sen2 x + 3 sen x cos x - cos2 x = 2 (sen2 x + cos2 x)

Eseguiamo la moltiplicazione a secondo membro:

2 sen2 x + 3 sen x cos x - cos2 x = 2 sen2 x + 2 cos2 x


Semplifichiamo e sommiamo i termini simili a primo e secondo membro:

2 sen2 x + 3 sen x cos x - cos2 x = 2 sen2 x + 2 cos2 x

-3 cos2 x + 3 sen x cos x = 0.

Quella che abbiamo scritto è un'EQUAZIONE OMOGENEA DI SECONDO GRADO IN SENO E COSENO con a = 0.


Ora possiamo mettere in evidenza 3 cos x:

3 cos x (- cos x + sen x) = 0


Per la legge di annullamento del prodotto le soluzioni dell'equazione sono:

3 cos x = 0

oppure

- cos x + sen x = 0

o entrambe nulle.


Dalla prima equazione ricaviamo come soluzione

x = π/2 + kπ

La seconda equazione è un'equazione linerare in seno e coseno in cui il termine noto è uguale a zero. Essa si risolve dividendo tutti i membri per cos x:

Risoluzione equazione lineare in seno e coseno

da cui si ottiene:

Risoluzione equazione lineare in seno e coseno

la cui soluzione è

x = π/4 + kπ.

Quindi le soluzioni trovare sono:

x = π/2 + kπ   ∨   x = π/ + kπ

con

k Z.




 
 
 
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