EQUAZIONI SIMMETRICHE RISPETTO AL SENO E AL COSENO

Per comprendere meglio questo argomento, leggi prima le seguenti lezioni:
 

Continuiamo l'esame delle equazioni goniometriche occupandoci, in questa lezione, delle EQUAZIONI GONIOMETRICHE SIMMETRICHE RISPETTO A SENO E COSENO.

Con questo nome intendiamo quelle equazioni goniometriche che NON CAMBIANO CAMBIANDO tra loro il il seno di x con il coseno di x.


Esempio:

Risoluzione di equazioni simmetriche rispetto al seno e al coseno


Osserviamo cosa accade se, al posto del seno scriviamo il coseno, e viceversa:

Risoluzione di equazioni simmetriche rispetto al seno e al coseno


E' chiaro che così facendo abbiamo cambiato solo l'ordine dei vari termini, ma l'equazione rimane la stessa.


Queste equazioni si risolvono:

  • innanzitutto PONENDO

    x = y + π/4

    e andando a sostiture, nell'equazione di partenza, alla x il suo nuovo valore.

    La scelta di π/4 non è casuale infatti, quando l'angolo è pari a π/4 il seno e il coseno sono uguali;

  • successivamente faremo ricorso alle FORMULE DI ADDIZIONE DEL SENO e del COSENO;
  • infine, andremo a SEMPLIFICARE l'equazione ottenuta e ad applicare, a seconda dei casi, le FORMULE GONIOMETRICHE o le RELAZIONI FONDAMENTALI DELLA GONIOMETRIA in modo da ottenere un'equazione di quelle esaminate nelle lezioni precedenti.


Torniamo al nostro esempio e vediamo come possiamo procedere.

Per prima cosa poniamo

x = y + π/4.

Effettuando la sostituzione la nostra equazione diventa

Risoluzione di equazioni simmetriche rispetto al seno e al coseno


A questo punto applichiamo le formule di addizione del seno e del coseno che andiamo a sostituire al posto di

sen (y + π/4)   e   cos (y + π/4).

Quindi avremo:

Risoluzione di equazioni simmetriche rispetto al seno e al coseno



Adesso, dove troviamo il seno di π/4 e il coseno di π/4, sostituiamo il valore dall'arco che è pari a radice di due fratto due:

Risoluzione di equazioni simmetriche rispetto al seno e al coseno



Da qui in poi il modo di procedere può essere diverso a seconda del tipo di equazione: in ogni caso si tratta sempre di semplificare e, come si è detto prima, applicare le formule goniometriche o le relazioni fondamentali della goniometria in modo da essere in grado di risolvere l'equazione.

Noi riscriviamo l'equazione in modo più ordinato ed eseguiamo i calcoli indicati nelle parentesi:

Risoluzione di equazioni simmetriche rispetto al seno e al coseno



Ora semplifichiamo e sommiamo i termini simili:

Risoluzione di equazioni simmetriche rispetto al seno e al coseno



Dalla PRIMA RELAZIONE FONDAMENTALE DELLA GONIOMETRIA sappiamo che:

1 - cos2 y = sen2 y

che andiamo a sostituire nella nostra equazione:

Risoluzione di equazioni simmetriche rispetto al seno e al coseno


Semplifichiamo di nuovo in modo da ottenere una equazione goniometrica elementare nel coseno:

Risoluzione di equazioni simmetriche rispetto al seno e al coseno


Risolviamo e troviamo:

y = 2kπ


Poiché inizialmente avevamo posto:

x = y + π/4

sostituendo abbiamo:

x = π/4 + 2kπ



 
 
 
Il nostro sito collabora ad una ricerca condotta dall'Università dell'Aquila e dall'Università di Pavia sulla didattica della matematica. Ti saremmo grati se volessi dedicarci alcuni minuti rispondendo ad un breve questionario.

Compila il questionario


SchedeDiGeografia.net
StoriaFacile.net
EconomiAziendale.net
DirittoEconomia.net
LeMieScienze.net
MarchegianiOnLine.net