PARTICOLARI EQUAZIONI GONIOMETRICHE ELEMENTARI

Per comprendere meglio questo argomento, leggi prima le seguenti lezioni:
 

Concludiamo l'esame delle PARTICOLARI EQUAZIONI GONIOMETRICHE ELEMENTARI, parlando dell'ultimo gruppo di equazioni goniometriche, ovvero:

sen α = cos α'

sen α = - cos α'



Partiamo dalla prima di queste equazioni:

sen α = cos α'


Dallo studio degli ANGOLI COMPLEMENTARI abbiamo appreso che

cos α' = sen (π/2 - α')


Di conseguenza, l'equazione:

sen α = cos α'

può essere scritta come:

sen α = sen (π/2 - α')


che può essere risolta nei modi visti nelle precedenti lezioni.

Esempio:

sen (4x + 100°) = cos (23° - 5x).

Notiamo, innanzitutto, che in questa equazione non compaiono i radianti come in quelle sin qui viste, bensì i GRADI SESSADECIMALI. Di conseguenza, nelle formule, dovremo sostituire sempre ai radianti i relativi gradi: quindi al posto di π/2 metteremo 90°, al posto di π metteremo 180° e al posto di metteremo 360°.


Iniziamo scrivendo il secondo membro della nostra equazione nel modo seguente:

cos (23° - 5x) = sen (90° - 23° + 5x)

e sommando avremo:

cos (23° - 5x) = sen (67° + 5x)

Ora sostituiamo nell'equazione di partenza:

sen (4x + 100°) = sen (67° - 5x).


Da qui, le soluzioni sono:

  • 4x + 100° = 67° + 5x + k·360°   →    -x = -33° + k·360°   →   x = 33° + k·360°

  • 4x + 100° +67° +5x = 180° + k·360°   →   9x = 13° + k·360°    →   x = 13°/9 + k·40°

Quindi il risultato della nostra equazione è:

x = 33° + k·360°  ∨  x = 13°/9 + k·40°




Passiamo alla seconda delle nostre equazioni:

sen α = - cos α'


Abbiamo appena visto che il coseno di un angolo può essere scritto:

cos α' = sen (π/2 - α').

Di conseguenza, la nostra equazione, può essere scritta:

sen α = - sen (π/2 - α')

Ma nella lezione precedente, abbiamo visto che essa equivale a risolvere:

sen α = sen (-π/2 + α').


Esempio:

sen 3x = - cos 4x.

Iniziamo scrivendo il secondo membro della nostra equazione nel modo seguente:

cos 4x = sen (π/2 - 4x)

Ora sostituiamo nell'equazione di partenza e abbiamo:

sen 3x = - sen (π/2 - 4x)

che diventa:

sen 3x = sen (-π/2 + 4x)

Da qui, le soluzioni sono:

  • 3x = - π/2 + 4x + 2k·π   →    3x - 4x = -π/2 + 2k·π   →   -x = -π/2 + 2k·π    →   x = π/2 + 2kπ

    Come si è già detto nelle precedenti lezioni non c'è bisogno di cambiare il segno anche a 2kπ

  • 3x - π/2 + 4x = π + 2k·π   →   7x = π + π/2 + 2k·π    →   7x = ((2π + π)/ 2 + 2kπ    →   7x = 3π/2 + 2kπ    →   x = 3π/14 + 2kπ/7

Quindi il risultato della nostra equazione è:

x = π/2° + 2k·π  ∨  x = 3π/14 + 2kπ/7




 
 
 
Il nostro sito collabora ad una ricerca condotta dall'Università dell'Aquila e dall'Università di Pavia sulla didattica della matematica. Ti saremmo grati se volessi dedicarci alcuni minuti rispondendo ad un breve questionario.

Compila il questionario


SchedeDiGeografia.net
StoriaFacile.net
EconomiAziendale.net
DirittoEconomia.net
LeMieScienze.net
MarchegianiOnLine.net