ALCUNI CASI PARTICOLARI DI EQUAZIONI GONIOMETRICHE ELEMENTARI NEL SENO

Per comprendere meglio questo argomento, leggi prima le seguenti lezioni:
 

Nella lezione precedente abbiamo visto tre esempi che illustrano diversi tipi di EQUAZIONI GONIOMETRICHE ELEMENTARI NEL SENO.

Ora vogliamo esaminare alcuni casi particolari.


Il primo di essi è:

sen x = 1


"Cos'ha di particolare questa equazione?" All'apparenza nulla: infatti essa si risolve nei modi consueti visti in precedenza. Ma, risolvendola, vedremo che essa ammette una sola soluzione.

Vediamo perchè.

Innanzittutto, possiamo affermare che sicuramente la nostra equazione ammette soluzioni dato che

-1 ≤ a ≤ +1.


Noi sappiamo che 1 è il seno dell'arco, π/2, quindi le soluzioni dell'equazione saranno:

x = π/2 + 2kπ

oppure

x = (π - π/2) + 2kπ.

Ora eseguiamo, in questa seconda soluzione, la differenza indicata in parentesi ed otteniamo:

Risoluzione di equazioni goniometriche elementari


Come possiamo notare si tratta dello stesso risultato scritto prima. Quindi, la particolarità di questa equazione sta nel fatto che essa ammette una sola soluzione che è:

x = π/2 + 2kπ

con

k Z.



Ovviamente, come sempre, possiamo esprimere questo risultato anche in gradi, ovvero:

x = 90° + k·360°

con

k Z.



E se, invece, ci troviamo di fronte all'equazione:

sen x = -1

abbiamo sempre una sola soluzione?

La risposta è "Si." Verifichiamolo risolvendola.

Per prima cosa diciamo che l'equazione è ammissibile in quanto

-1 ≤ a ≤ +1.


L' arco a cui corrisponde il seno -1 è 3π/2, quindi le soluzioni dell'equazione sono:

x = 3π/2 + 2kπ

oppure

x = (π - 3π/2) + 2kπ.

Da quest'ultima equazione otteniamo:

Risoluzione di equazioni goniometriche elementari


Quindi le soluzioni sono:

x = 3π/2; + 2kπ   ∨   x = -π/2 + 2kπ

con

k Z.



Notiamo, però, che la seconda soluzione è un ANGOLO NEGATIVO ovvero un angolo che nasce da una rotazione oraria anziché antioraria. Ora noi sappiamo che k è un NUMERO INTERO RELATIVO: se ad esso assegniamo il valore -1, la prima soluzione diventa:

3π/2 + 2·(-1)·π

da cui otteniamo:

3π/2 - 2π = (3π -4π)/2 = -π/2


Quindi è chiaro che la prima soluzione comprende anche la seconda. Di conseguenza possiamo scrivere che la soluzione della nostra equazione è:

x = 3/2π + 2kπ.

con

k Z.



La stessa soluzione scritta in gradi, è

x = 270° + k·360°

con

k Z.



Un altro caso particolare è il seguente:

sen x = 0

Essendo il seno di un angolo l'ORDINATA del punto della circonferenza associato all'angolo stesso, tale ordinata è pari a 0 quando l'angolo è pari a 0 oppure a π: quindi, in pratica, ogni 180° (cioè π in radianti) a partire da zero.

Di conseguenza possiamo scrivere il risultato dell'equazione come:

x = 0 + kπ

che non è altro che:

x = kπ



Continueremo, nella prossima lezione ad esaminare alcune equazioni goniometriche che sono riconducibili all'equazione goniometrica elementare nel seno.

 
Per approfondire questo argomento, leggi:
 
 
 
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