EQUAZIONI LINEARI IN SENO E COSENO

METODO DELL'ANGOLO AGGIUNTO

Per comprendere meglio questo argomento, leggi prima le seguenti lezioni:
 

Dopo aver esaminato, nelle lezioni precedenti, come si risolvono le EQUAZIONI LINEARI IN SENO E COSENO applicando il METODO DELLE FORMULE PARAMETRICHE ed il METODO DEL PASSAGGIO A SISTEMA, in questa lezione andremo a vedere l'ultimo dei metodi possibili ovvero il METODO DELL'ANGOLO AGGIUNTO.


Ricordiamo che la nostra equazione lineare in seno e coseno è:

a sen x + b cos x + c = 0

con

c ≠ 0.

Ora, mettiamola un attimo da parte e andiamo a cercare:

  • un numero r POSITIVO;
  • ed un angolo α che chiamiamo ANGOLO AGGIUNTO o ANGOLO AUSILIARIO;

tali che

a sen x + b cos x = r sen (x + α).

Parliamo di metodo dell'angolo aggiunto perché l'angolo α si aggiunge all'angolo x.

Attenzione: a primo membro non abbiamo l'equazione linerare in seno e coseno, ma solo i primi due addendi (manca la c). In altre parole

r sen (x + α) = - c


Ora, applicando la FORMULA DI ADDIZIONE DEL SENO, possiamo scrivere diversamente il secondo membro della nostra equazione. Ovvero:

a sen x + b cos x = r (sen x cos α + cos x sen α)

Eseguiamo la moltiplicazione indicata a secondo membro e abbiamo:

a sen x + b cos x = r sen x cos α + r cos x sen α


Osserviamo i due membri dell'uguaglianza appena scritta e notiamo che entrambi sono la somma di due addendi:

Risoluzione equazioni lineari in seno e coseno con il metodo dell'angolo aggiuntivo


e ciascuno di questi addendi è il prodotto di più fattori.

Esaminiamo il primo addendo del primo e del secondo membro: in entrambi è presente il fattore sen x:

Risoluzione equazioni lineari in seno e coseno con il metodo dell'angolo aggiuntivo


Ora osserviamo il secondo addendo del primo e del secondo membro: in entrambi è presente il fattore cos x:

Risoluzione equazioni lineari in seno e coseno con il metodo dell'angolo aggiuntivo


Di conseguenza, affinché la somma dei due addendi indicati a primo e secondo membro siano uguali, è necesario che siano uguali tra loro gli altri fattori del primo e del secondo membro, cioè è necessario che

a = r cos α

e

b = r sen α.

In altre parole è necessario che:

Risoluzione equazioni lineari in seno e coseno con il metodo dell'angolo aggiuntivo


ELEVIAMO AL QUADRATO primo e secondo membro:

Risoluzione equazioni lineari in seno e coseno con il metodo dell'angolo aggiuntivo


SOMMIAMO MEMBRO A MEMBRO ed otteniamo:

a2 + b2 = r2 cos2 α + r2 sen2 α

METTIAMO IN EVIDENZA, a secondo membro, r:

a2 + b2 = r2 (cos2 α + sen2 α)


Dato che la PRIMA RELAZIONE FONDAMENTALE DELLA GONIOMETRIA ci dice che:

cos2 α + sen2 α = 1

Il secondo membro della nostra equazione diventa r2 · 1 ovvero r2:

a2 + b2 = r2

da cui ricaviamo:

Risoluzione equazioni lineari in seno e coseno con il metodo dell'angolo aggiuntivo



Ora torniamo al nostro sistema:

Risoluzione equazioni lineari in seno e coseno con il metodo dell'angolo aggiuntivo


e DIVIDIAMO MEMBRO A MEMBRO, la seconda equazione per la prima, cosa che possiamo fare in quanto a, in una equazione lineare in seno e coseno, è sicuramente diverso da zero, altrimenti ci troveremmo di fronte ad una equazione goniometrica elementare. Otteniamo:

Risoluzione equazioni lineari in seno e coseno con il metodo dell'angolo aggiuntivo


Semplifichiamo r a numeratore e denominatore del secondo membro, e sostituiamo, al rapporto tra seno e coseno di α la sua tangente:

Risoluzione equazioni lineari in seno e coseno con il metodo dell'angolo aggiuntivo


E qui ci ferminamo a fare una precisazione. La relazione tra la tangente di α e il rapporto b/a ci permette di DETERMINARE il valore di α. Tuttavia, per determinare tale valore dobbiamo fare attenzione al SEGNO del numeratore e del denominatore.

Dato il sistema:

Risoluzione equazioni lineari in seno e coseno con il metodo dell'angolo aggiuntivo


e poiché abbiamo posto come condizione che r sia un numero POSITIVO, necessariamente:

  • a deve avere lo STESSO SEGNO di cos α;
  • b deve avere lo STESSO SEGNO di sen α.

Ora, poiché il seno di un angolo orientato non è altro che la sua ordinata, mentre il suo coseno non è altro che l'ascissa:

  • quando a è POSITIVO (quindi cos α > 0) e b è POSITIVO (quindi sen α > 0) il lato termine di α si trova nel I QUADRANTE;
  • quando a è POSITIVO (quindi cos α > 0) e b è NEGATIVO (quindi sen α < 0) il lato termine di α si trova nel IV QUADRANTE;
  • quando a è NEGATIVO (quindi cos α < 0) e b è POSITIVO (quindi sen α > 0) il lato termine di α si trova nel II QUADRANTE;
  • quando a è NEGATIVO (quindi cos α < 0) e b è NEGATIVO (quindi sen α < 0) il lato termine di α si trova nel III QUADRANTE.

Risoluzione equazioni lineari in seno e coseno con il metodo dell'angolo aggiuntivo



Una volta trovato il valore di r e quello di α, possiamo determinare il valore di x sapendo che

r sen (x + α) = - c.



Quindi, ricapitolando, per applicare questo il METODO DELL'ANGOLO AGGIUNTO dobbiamo:

  • calcolare il valore di r sapendo che

    Risoluzione equazioni lineari in seno e coseno con il metodo dell'angolo aggiuntivo

  • calcolare la TANGENTE di α che non è altro che b/a;
  • una volta nota la tangente di alfa determinare il VALORE DI ALFA facendo attenzione al QUADRANTE nel quale si trova il lato termine di α;
  • infine, CALCOLARE il valore di x ricordando che

    r sen (x + α) = - c

    e andando a sostituire ad r e ad α i valori appena trovati.

A conclusione di questa lezione, osserviamo che si potrebbe procedere anche in un modo diverso, ovvero porre inizialmente

a sen x + b cos x = r cos (x + α).

ed applicare la formula di addizione del coseno per poi procedere esattamente come nel caso sopra visto. Questa soluzione, per quanto possibile, non viene normalmente seguita nei libri di testo.


Nella prossima lezione andremo a vedere alcuni esempi di applicazione di tale metodo.



 
 
 
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