EQUAZIONI GONIOMETRICHE RICONDUCIBILI AD EQUAZIONI ALGEBRICHE

Per comprendere meglio questo argomento, leggi prima le seguenti lezioni:
 

Dopo aver visto come si risolvono le equazioni goniometriche elementari e quelle ad esse riconducibili in questa lezione ci occuperemo delle EQUAZIONI GONIOMETRICHE RICONDUCIBILI AD EQUAZIONI ALGEBRICHE e che, di conseguenza, vanno risolte come le normali equazioni algebriche.

Queste equazioni sono tutte EQUAZIONI GONIOMETRICHE DI SECONDO GRADO nelle quali è presente UNA SOLA FUNZIONE GONIOMETRICA (o solo seno, o solo coseno, o solo tangente, ecc...).

Queste funzioni si presentano in una delle forme seguenti:

a sen2 x + b sen x + c = 0

a cos2 x + b cos x + c = 0

a tan2 x + b tan x + c = 0

a cot2 x + b cot x + c = 0



Per comprendere come si risolvono queste equazioni prendiamo come esempio la prima (il modo di procedere, ovviamente, sarà sempre lo stesso):

a sen2 x + b sen x + c = 0


Poniamo:

sen x = y

e la nostra equazione goniometrica diventa una normale EQUAZIONE DI SECONDO GRADO AD UNA INCOGNITA :

a y2 + by + c = 0

che andiamo a risolvere applicando la formula risolutiva:

Risoluzione di equazioni goniometriche riconducibili ad equazioni algebriche


Una volta trovate le soluzioni, che chiameremo y1 e y2 (qui ipotizziamo che siano due, ma potrebbe essere anche una soltanto o addirittura nessuna), andiamo a sostituire i valori trovati, in modo da scrivere:

y1 = sen x

y2 = sen x


e risolviamo queste due equazioni che sono due equazioni goniometriche elementari nel seno.



Questo modo di procedere può essere utilizzato, come vedremo in uno degli esempi, anche quando l'equazione goniometrica può essere ricondotta ad un'equazioni di secondo grado spuria (cioè priva del termine noto) oppure un'equazione pura (cioè nella quale manca il termine elevato alla prima), ovviamente apportando gli opportuni accorgimenti per quanto riguarda la loro soluzione.



Esempio 1:

2 sen2 x + sen x - 1 = 0


Poniamo

y = sen x

e sostituendo otteniamo:

2 y2 + y - 1 = 0


Applichiamo la formula risolutiva ed abbiamo:

Risoluzione di equazioni goniometriche riconducibili ad equazioni algebriche


A questo punto, sostituendo ai valori trovati di y il seno di x, andiamo a risolvere:

sen x = -1

sen x = 1/2.


Partiamo dalla prima:

sen x = - 1

Come abbiamo visto in una precedente lezione, essa ha come soluzione:

x = 3π/2 + 2kπ


Ora occupiamoci della seconda equazione:

sen x = 1/2

le sue soluzioni sono:

x = π/6 + 2kπ

x = (π - π/6) + 2kπ = (6-1)π/6 + 2kπ = 5π/6 + 2kπ


Quindi, ricapitolando, le soluzioni sono:

x = 3π/2 + 2kπ   ∨   x = π/6 + 2kπ   ∨   5π/6 + 2kπ

con

k Z.




Esempio 2:

2 cos2 x - 3 cos x + 1 = 0


Poniamo

y = cos x

e sostituendo otteniamo:

2 y2 -3 y + 1 = 0


Applichiamo la formula risolutiva ed abbiamo:

Risoluzione di equazioni goniometriche riconducibili ad equazioni algebriche


A questo punto, sostituendo ai valori trovati di y il cos di x andiamo a risolvere:

cos x = 1/2

cos x = 1.


Partiamo dalla prima:

cos x = 1/2

Come abbiamo visto in una precedente lezione, essa ha come soluzione:

x = ± π/3 + 2kπ


Ora occupiamoci della seconda equazione:

cos x = 1

come si è già avuto modo di vedere essa ha come soluzione:

x = 2kπ

Quindi, ricapitolando, le soluzioni sono:

x = ± π/3 + 2kπ   ∨   x = 2kπ

con

k Z.



Esempio 3:

tan2 x - 1 = 0


Anche questa equazione è riconducibile ad un'equazione algebrica, ma non ad un'equazione completa, bensì ad un'EQUAZIONE PURA. Come sempre poniamo:

y = tan x

e sostituendo otteniamo:

y2 - 1 = 0


L'equazione da noi scritta può essere scomposta nella somma di due monomi per la loro differenza:

(y + 1) (y-1) = 0

che per la legge di annullamento del prodotto diventa:

y + 1 = 0 → y = -1

y - 1 = 0 → y = +1


Come al solito andiamo a sostituire, ai valori trovati di y la tangente di x, e risolvivamo:

tan x = -1

tan x = +1.


Partiamo dalla prima:

tan x = -1

che come sappiamo ha come soluzione:

x = 3π/4 + kπ


Ora occupiamoci della seconda equazione:

tan x = 1

che ha come soluzione:

π/4 + kπ

Quindi, ricapitolando, le soluzioni sono:

x = 3π/4 + kπ   ∨   x = π/4 + kπ

con

k Z.



 
Per approfondire questo argomento, leggi:
 
 
 
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