PARTICOLARI EQUAZIONI GONIOMETRICHE ELEMENTARI

Per comprendere meglio questo argomento, leggi prima le seguenti lezioni:
 

Continuiamo a parlare di PARTICOLARI EQUAZIONI GONIOMETRICHE ELEMENTARI ed andiamo ad occuparci di quelle equazioni che presentano, a primo membro e a secondo membro, FUNZIONI GONIOMETRICHE OPPOSTE.

Esempio:

sen α = - sen α'

cos α = - cos α'

tan α = - tan α'



Partiamo dalla prima di queste equazioni:

sen α = - sen α'


Dallo studio degli ANGOLI OPPOSTI sappiamo che

- sen α = sen (-α)


Di conseguenza, l'equazione:

sen α = - sen α'

può essere scritta come:

sen α = sen (-α')


In questo modo abbiamo ricondotto questa equazione a quella vista nella lezione precedente a cui si rimanda per la spiegazione delle modalità di risoluzione.


Esempio:

Risoluzione di particolari equazioni goniometriche elementari


La nostra equazione può essere scritta così:

Risoluzione di particolari equazioni goniometriche elementari


Da essa ricaviamo le due soluzioni:

Risoluzione di particolari equazioni goniometriche elementari


Risolviamo la prima:

Risoluzione di particolari equazioni goniometriche elementari


Cambiamo di segno a primo e secondo membro. Osserviamo, a tale proposito, che non è necessario cambiare il segno a 2kπ perché k è un NUMERO INTERO RELATIVO che, di conseguenza, può assumere sia valori POSITIVI che NEGATIVI.

Quindi otteniamo:

Risoluzione di particolari equazioni goniometriche elementari


Risolviamo la seconda:

Risoluzione di particolari equazioni goniometriche elementari


Pertanto le soluzioni sono:

Risoluzione di particolari equazioni goniometriche elementari




Passiamo all'equazione:

cos α = - cos α'

In questo caso dobbiamo far ricorso alle proprietà degli ANGOLI SUPPLEMENTARI. Pertanto la nostra equazione può essere scritta nel modo che segue:

cos α = cos (π - α')

In questo modo abbiamo ricondotto questa equazione a quella vista nella lezione precedente a cui si rimanda per la spiegazione delle modalità di risoluzione.


Esempio:

Risoluzione di particolari equazioni goniometriche elementari


L'equazione può essere scritta nel modo che segue:

Risoluzione di particolari equazioni goniometriche elementari


la cui soluzione è:

Risoluzione di particolari equazioni goniometriche elementari


Da essa ricaviamo due equazioni. La prima:

Risoluzione di particolari equazioni goniometriche elementari


E la seconda:

Risoluzione di particolari equazioni goniometriche elementari


Anche in questo caso ricordiamo che non è necessario cambiare il segno a 2kπ.

Le soluzioni dell'equazione sono:

Risoluzione di particolari equazioni goniometriche elementari


Veniamo all'ultima equazione di questo gruppo:

tan α = - tan α'

Per le proprietà degli ANGOLI OPPOSTI questa equazione può essere scritta nel modo che segue:

tan α = tan (-α')

Come abbiamo visto nella lezione precedente essa si risolve ponendo:

α = α' + kπ

Esempio:

tan 4x = tan -12x

La soluzione la si ottiene ponendo:

tan 4x = tan (-12 x)

da cui otteniamo:

4x = -12x + kπ

4x + 12x = kπ

16x = kπ

x = kπ/16



Per concludere questa lezione dichiamo che, nel caso ci trovassimo a dover risolvere un'equazione del tipo:

cotan α = - cotan α'


andremmo ad applicare la proprietà degli ANGOLI COMPLEMENTARI secondo la quale

cotan α = tan (π/2 - α)

Di conseguenza, la nostra equazione, diventa:

tan (π/2 - α) = - tan (π/2 - α')


e quindi, si tratterebbe di risolvere un'equazione del tutto simile a quella appena vista.



 
 
 
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