EQUAZIONI OMOGENEE DI SECONDO GRADO IN SENO E COSENO

Per comprendere meglio questo argomento, leggi prima le seguenti lezioni:
 

Proseguiamo l'esame delle EQUAZIONI GONIOMETRICHE e della loro risoluzione occupandoci, in questa lezione, delle EQUAZIONI OMOGENEE DI SECONDO GRADO IN SENO E COSENO.

Ricordiamo che un'equazione si dice OMOGENEA quando TUTTI i suoi TERMINI sono dello STESSO GRADO.


Queste equazioni si presentano nella forma:

a sen2 x + b sen x cos x + c cos2 x = 0.



Per risolvere questo tipo di equazioni dobbiamo distinguere tre casi:

  • il primo caso si ha quando a = 0;
  • il secondo caso si ha quando c = 0;
  • il terzo ed ultimo caso si ha quando a ≠ 0 e c ≠ 0.


Partiamo dal primo caso:

a = 0.

L'equazione diventa:

b sen x cos x + c cos2 x = 0.


Per risolvere questa equazione METTIAMO IN EVIDENZA cos x ed otteniamo:

cos x (b sen x + c cos x) = 0


L'equazione così scritta può essere risolta grazie alla LEGGE DI ANNULLAMENTO DEL PRODOTTO. Pertanto, le soluzioni sono date da:

cos x = 0

oppure

b sen x + c cos x = 0

o entrambi nulli


La prima equazione

cos x = 0

è un'EQUAZIONE GONIOMETRICA ELEMENTARE NEL COSENO che si risolve nei modi visti in una precedente lezione.

La seconda equazione

b sen x + c cos x = 0

è un'EQUAZIONE LINEARE IN SENO E COSENO nella quale il termine noto è uguale a zero: anche la risoluzione di questo tipo di equazione è stata vista in una precedente lezione.



Secondo caso:

c = 0.

L'equazione diventa:

a sen x2 + b sen x cos x = 0.


Per risolvere questa equazione METTIAMO IN EVIDENZA sen x ed otteniamo:

sen x (a sen x + b cos x) = 0


Anche questa equazione può essere risolta grazie alla LEGGE DI ANNULLAMENTO DEL PRODOTTO. Quindi, le soluzioni sono date da:

sen x = 0

oppure

a sen x + b cos x = 0

o entrambi nulli


La prima equazione

sen x = 0

è un'EQUAZIONE GONIOMETRICA ELEMENTARE NEL SENO che si risolve nei modi visti in una precedente lezione.

La seconda equazione

a sen x + b cos x = 0

è sempre un'EQUAZIONE LINEARE IN SENO E COSENO nella quale il termine noto è uguale a zero. Come abbiamo detto prima, abbiamo già visto in una precedente lezione come si risolve.



Terzo caso: si ha quando sia a che c sono DIVERSI da ZERO. In altre parole

a ≠ 0   e   c ≠ 0


In questo caso la soluzione dell'equazione la cerchiamo andando a DIVIDERE primo e secondo membro per cos2 x.

Possiamo farlo senza problemi poiché sicuramente il coseno di x è diverso da zero.

Infatti, quando

a ≠ 0

sicuramente

cos2 x ≠ 0.

Vediamo il perché.

Noi sappiamo che, quando il coseno di x è uguale a zero, sicuramente il seno di x è diverso da zero. Infatti:

  • il coseno di x è uguale a zero, quando x è uguale a π/2, ma quando l'angolo è pari a π/2 il seno è uguale ad 1. Quindi, se x = π/2, fosse una soluzione della nostra equazione a primo membro avremmo:

    a sen2 x + b sen x cos x + c cos2 x

    a · (1)2 + b · 1 · 0 + 0

    a · 1 + 0 + 0

    che chiaramente è diverso da zero;

  • il coseno di x è uguale a zero, anche quando x è uguale a 3π/2, ma quando l'angolo è pari a 3π/2 il seno è uguale a -1. Quindi, se x = 3π/2, fosse una soluzione della nostra equazione a primo membro avremmo:

    a sen2 x + b sen x cos x + c cos2 x

    a · (-1)2 + b · (-1) · 0 + 0

    a · 1 + 0 + 0

    che chiaramente è diverso da zero.


Quindi, possiamo dire che sicuramente cos x = 0 non è soluzione della nostra equazione e, pertanto, possiamo tranquillamente dividere l'equazione per cos2 x. E avremo:

Risoluzione equazioni omogenee di secondo grado in seno e coseno


Semplificando possiamo scrivere:

Risoluzione equazioni omogenee di secondo grado in seno e coseno


A questo punto andiamo a SOSTITUIRE, al posto del rapporto tra il seno e il coseno di x, la sua TANGENTE.

a tan2 x + b tan x + c = 0


Quella che abbiamo ottenuto è una EQUAZIONE DI SECONDO GRADO NELLA TANGENTE che si risolve ponendo:

y = tan x

in modo da avere:

a y2 + b y + c = 0


Questa equazione la risolviamo con la nota formula:

Risoluzione equazioni omogenee di secondo grado in seno e coseno


Una volta trovato il valore di y andremo a sostituirlo nella equazione:

y = tan x

andando a risolvere quella che è una EQUAZIONE GONIOMETRICA ELEMENTARE NELLA TANGENTE.


Nella prossima lezione andremo a vedere alcuni esempi di risoluzione delle equazioni omogenee di secondo grado in seno e coseno.



 
 
 
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