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EQUAZIONI IRRAZIONALI contenenti RADICALI con INDICI DIVERSI

 

 



Per comprendere  

 

Fino a qui abbiamo esaminato EQUAZIONI IRRAZIONALI contenenti radicali sempre dello stesso indice: cioè l'equazione irrazionale conteneva sempre solo radicali quadratici o solo radicali cubici. 

Vediamo ora cosa accade quando l'equazione irrazionale contiene due o più radicali aventi indici diversi.

Ad esempio l'equazione si presenta nel modo seguente:

Risoluzione equazioni irrazionali

 

Per risolvere questo tipo di equazione occorre ELEVARE entrambi i membri ad una POTENZA pari al minimo comune multiplo degli INDICI dei radicali. Supponiamo che, tale m.c.m. sia 

n·m

 

Una volta fatto l'elevamento a potenza si tratterà di risolvere nei modi consueti.

 

Ottenuto il risultato, o i risultati, occorrerà verificare che essi siano anche delle SOLUZIONI ACCETTABILI dell'equazione di partenza.

In alternativa si possono porre le condizioni affinché la soluzione ottenuta sia accettabile: in questo caso, per comprendere quali equazioni occorre impostare nel sistema, dobbiamo distinguere l'ipotesi che gli indici dei radicali siano pari oppure dispari.

 

Se, sia n che m sono DISPARI, la soluzione dell'equazione si ottiene semplicemente elevando entrambi i termini alla 

n·m

ovvero

Risoluzione equazioni irrazionali

 

Le soluzioni trovate saranno, tutte, anche soluzioni dell'equazione di partenza.

 

 

Se, sia n che m sono PARI, si deve porre come condizione che entrambi i radicandi siano positivi o uguali a zero. Pertanto occorrerà impostare il seguente sistema 

Risoluzione equazioni irrazionali

 

 

 

Esempio:

Risoluzione equazioni irrazionali

Nel nostro caso gli indici sono, uno pari e uno dispari. Per non complicarci troppo la vita e per non correre il rischio di impostare delle condizioni sbagliate decidiamo di optare per il metodo della verifica.

Innanzitutto cerchiamo le soluzioni.

Partiamo col trovare il m.c.m. tra 2 e 3: esso è 6.

Quindi eleviamo entrambi i membri dell'equazione a 6:

Risoluzione equazioni irrazionali

 

Mettiamo in evidenza x2:

Risoluzione equazioni irrazionali

Per la legge di annullamento del prodotto, il nostro prodotto è nullo quando:

x2 = 0

oppure quando

x - 4 = 0.

 

Risolviamo le due equazioni.

Partiamo dalla prima

x2 = 0

x = 0.

 

Passiamo alla seconda

x - 4 = 0

x = 4.

 

Ora verifichiamo le due soluzioni ottenute.

Risoluzione equazioni irrazionali

La soluzione

x = 0

è accettabile.

 

Risoluzione equazioni irrazionali

 

Anche la soluzione

x = 4

è accettabile.

 

 

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