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EQUAZIONI IRRAZIONALI contenenti RADICALI QUADRATICI

 

 



Per comprendere  

 

Nella lezione precedente abbiamo detto che:

Potrebbe accadere, infatti, che i risultati ottenuti dall'equazione razionale, pur rientrando nel dominio dell'equazione di partenza, siano SOLUZIONI ESTRANEE all'equazione irrazionale.

Ora vogliamo capire perché questo si verifica.

 

Riprendiamo l'ultimo esempio visto nella lezione precedente.

Risoluzione equazioni irrazionali

 

Abbiamo elevato entrambi i membri dell'equazione al quadrato ottenendo l'equazione

3x - 2 = 16 + x2 - 8x

 

Risolvendo abbiamo ottenuto due soluzioni:

x1 = 2

x2 = 9

Abbiamo visto che il campo di esistenza dell'equazione irrazionale è

Campo di esistenza

 

Quindi entrambe le soluzioni rientrano nel campo di esistenza dell'equazione irrazionale.

Ciò nonostante, andando a sostituire i risultati trovati all'incognita nell'equazione di partenza, abbiamo visto che 2 è una soluzione accettabile, mentre 9 è una soluzione estranea.

 

L'equazione

3x - 2 = 16 + x2 - 8x

 

è stata ottenuta elevando al quadrato l'equazione

Risoluzione equazioni irrazionali

 

ma poiché numeri opposti hanno lo STESSO QUADRATO,

3x - 2 = 16 + x2 - 8x

 

si ottiene anche elevando al quadrato entrambi i membri dell'equazione

Risoluzione equazioni irrazionali

 

Verifichiamolo:

Risoluzione equazioni irrazionali

 

Ora, vogliamo verificare se le soluzioni dell'equazione

3x - 2 = 16 + x2 - 8x

 

sono anche le soluzioni dell'equazione irrazionale appena scritta.

Partiamo con il risultato

x = 2

 

Risoluzione equazioni irrazionali

 

Dunque 2 è una SOLUZIONE ESTRANEA all'equazione irrazionale.

 

Ora proviamo

x = 9

 

Risoluzione equazioni irrazionali

 

Dunque 9 è una soluzione della nostra equazione irrazionale.

 

Ora vogliamo generalizzare il discorso.

Scriviamo la nostra equazione irrazionale contenente radicali quadratici nel modo seguente:

A(x) = B(x).

 

Nell'esempio precedente sarebbe

Risoluzione equazioni irrazionali 

 

Chiamiamo S1 l'insieme delle soluzioni di tale equazione.

 

Elevando al quadrato la nostra equazione irrazionale otteniamo l'equazione

[A(x)]2 = [B(x)]2

e chiamiamo con S le soluzioni di tale equazione.

 

Quest'ultima equazione può non essere equivalente a quella data. 

Tutte le soluzioni dell'equazione di partenza (S1) sono anche soluzioni dell'equazione che otteniamo elevandone al quadrato entrambi i membri (S), ma l'equazione che abbiamo così ottenuto può contenere anche delle soluzioni estranee che non sono soluzioni dell'equazione di partenza, bensì sono soluzioni dell'equazione

A(x) = - B(x)

soluzioni che chiamiamo S2.

Ricapitolando:

E SOLUZIONE
A(x) = B(x) S1
A(x) = - B(x) S2
[A(x)]2 = [B(x)]2

S

 

Avremo, quindi, che

Risoluzione equazioni irrazionali

ovvero, l'insieme dato dall'unione di S1 ed S2 è un sottoinsieme improprio di S.

In altre parole, l'insieme formato da tutte le soluzioni dell'equazione

A(x) = B(x)

e da tutte le soluzioni dell'equazione

A(x) = - B(x)

sono soluzioni dell'equazione

[A(x)]2 = [B(x)]2

e viceversa, tutte le soluzioni dell'equazione

[A(x)]2 = [B(x)]2

sono soluzioni delle equazioni

A(x) = B(x)

A(x) = - B(x).

 

 

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Indice argomenti sulle equazioni irrazionali

 

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