EQUAZIONI IRRAZIONALI CONTENENTI RADICALI QUADRATICI
- Equazioni irrazionali
- Dominio di un'equazione irrazionale
- Come si risolvono le equazioni irrazionali
- Equazioni irrazionali contenenti radicali quadratici
- Tipi di equazioni
- Equazioni equivalenti
- Radicali quadratici
- Elevamento a potenza
- I numeri relativi
- Potenze di numeri relativi
- Nozione di insieme
- Unione di due insiemi
- Sottoinsiemi propri e impropri
Nella lezione precedente abbiamo detto che:
- per risolvere le EQUAZIONI IRRAZIONALI dobbiamo elevare entrambi i suoi membri a potenza in modo da eliminare le radici in essa presenti e trasformare l'equazione in un'equazione razionale che si risolve nei modo consueti;
- se l'equazione irrazionale contiene dei RADICALI QUADRATICI, NON è detto che l'equazione che otteniamo dopo l'elevamento a potenza, sia un'EQUAZIONE EQUIVALENTE a quella data.
Potrebbe accadere, infatti, che i risultati ottenuti dall'equazione razionale, pur rientrando nel dominio dell'equazione di partenza, siano SOLUZIONI ESTRANEE all'equazione irrazionale.
Ora vogliamo capire perché questo si verifica.
Riprendiamo l'ultimo esempio visto nella lezione precedente.
Abbiamo elevato entrambi i membri dell'equazione al quadrato ottenendo l'equazione
3x - 2 = 16 + x2 - 8x
Risolvendo abbiamo ottenuto due soluzioni:
x1 = 2
x2 = 9
Abbiamo visto che il campo di esistenza dell'equazione irrazionale è
Quindi entrambe le soluzioni rientrano nel campo di esistenza dell'equazione irrazionale.
Ciò nonostante, andando a sostituire i risultati trovati all'incognita nell'equazione di partenza, abbiamo visto che 2 è una soluzione accettabile, mentre 9 è una soluzione estranea.
L'equazione
3x - 2 = 16 + x2 - 8x
è stata ottenuta elevando al quadrato l'equazione
ma poiché numeri opposti hanno lo STESSO QUADRATO,
3x - 2 = 16 + x2 - 8x
si ottiene anche elevando al quadrato entrambi i membri dell'equazione
Verifichiamolo:
Ora, vogliamo verificare se le soluzioni dell'equazione
3x - 2 = 16 + x2 - 8x
sono anche le soluzioni dell'equazione irrazionale appena scritta.
Partiamo con il risultato
x = 2
Dunque 2 è una SOLUZIONE ESTRANEA all'equazione irrazionale.
Ora proviamo
x = 9
Dunque 9 è una soluzione della nostra equazione irrazionale.
Ora vogliamo generalizzare il discorso.
Scriviamo la nostra equazione irrazionale contenente radicali quadratici nel modo seguente:
A(x) = B(x).
Nell'esempio precedente sarebbe
Chiamiamo S1 l'insieme delle soluzioni di tale equazione.
Elevando al quadrato la nostra equazione irrazionale otteniamo l'equazione
[A(x)]2 = [B(x)]2
e chiamiamo con S le soluzioni di tale equazione.
Quest'ultima equazione può non essere equivalente a quella data.
Tutte le soluzioni dell'equazione di partenza (S1) sono anche soluzioni dell'equazione che otteniamo elevandone al quadrato entrambi i membri (S), ma l'equazione che abbiamo così ottenuto può contenere anche delle soluzioni estranee che non sono soluzioni dell'equazione di partenza, bensì sono soluzioni dell'equazione
A(x) = - B(x)
soluzioni che chiamiamo S2.
Ricapitolando:
| E | SOLUZIONE |
|---|---|
| A(x) = B(x) | S1 |
| A(x) = - B(x) | S2 |
| [A(x)]2 = [B(x)]2 | S |
Avremo, quindi, che
ovvero, l'insieme dato dall'unione di S1 ed S2 è un sottoinsieme improprio di S.
In altre parole, l'insieme formato da tutte le soluzioni dell'equazione
A(x) = B(x)
e da tutte le soluzioni dell'equazione
A(x) = - B(x)
sono soluzioni dell'equazione
[A(x)]2 = [B(x)]2
e viceversa, tutte le soluzioni dell'equazione
[A(x)]2 = [B(x)]2
sono soluzioni delle equazioni
A(x) = B(x)
e
A(x) = - B(x).
