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EQUAZIONI IRRAZIONALI contenenti RADICALI QUADRATICI

 

 



Per comprendere  

 

Iniziamo a vedere come si risolvono le EQUAZIONI IRRAZIONALI contenenti RADICALI QUADRATICI.

Abbiamo già detto che, per risolvere un'equazione irrazionale occorre elevare entrambi i suoi membri a potenza in modo da eliminare le radici in essa presenti e trasformare l'equazione in un'equazione razionale.

Va detto, però, che quando operiamo la trasformazione di un'EQUAZIONE IRRAZIONALE con RADICALI QUADRATICI in una razionale, NON è detto che otteniamo un'EQUAZIONE EQUIVALENTE a quella data.

Cerchiamo di comprendere meglio questo concetto con degli esempi.

 

Esempio 1.

Risoluzione equazioni irrazionali

Eleviamo entrambi i membri dell'equazione al quadrato, in modo da eliminare il radicale presente a primo membro. Quindi avremo:

Risoluzione equazioni irrazionali

da cui otteniamo

Risoluzione equazioni irrazionali

Andiamo a risolvere nei modi consueti:

Risoluzione equazioni irrazionali

 

Ora, andiamo a cercare il dominio della nostra equazione di partenza. Esso è dato da 

x + 2 ≥ 0 

ovvero

x ≥ - 2.

 

Quindi, la soluzione che abbiamo trovato (cioè x = 14) è una soluzione ammissibile poiché rientra nel campo di esistenza dell'equazione irrazionale: in altre parole è ammissibile perché è superiore (o al più uguale) a 2.

Ora proviamo a sostituire, all'incognita della nostra equazione irrazionale, il risultato trovato. Avremo: 

Risoluzione equazioni irrazionali

 

Dunque, in questo primo esempio, la soluzione dell'equazione razionale 

x + 2 = 16

è anche soluzione dell'equazione irrazionale data

Risoluzione equazioni irrazionali

Le due equazioni hanno le stesse soluzioni e, di conseguenza, sono equivalenti.

 

 

 

Esempio 2.

Risoluzione equazioni irrazionali

Andiamo ad elevare, entrambi i membri dell'equazione al quadrato

Risoluzione equazioni irrazionali

ed otteniamo

Risoluzione equazioni irrazionali

Risolviamo:

4x - 6x = -1 + 3

-2x = +2

2x = -2

 x = -2/2

x = -1.

 

Ora, andiamo a cercare il dominio della equazione irrazionale di partenza. Esso è dato da

4x - 3 ≥ 0 

e

6x - 1 ≥ 0.

 

Mettiamo a sistema e risolviamo:

Risoluzione equazioni irrazionali

Risoluzione equazioni irrazionali

 

Quindi il dominio della nostra equazione irrazionale è

x ≥ 3/4.

Di conseguenza, la soluzione che abbiamo trovato (cioè x = -1) non è una soluzione ammissibile poiché non rientra nel campo di esistenza dell'equazione: in altre parole non è ammissibile perché è inferiore a 3/4. La nostra equazione, dunque, è impossibile.

Nell'esempio proposto, quindi, l'equazione razionale 

4x -3 = 6x - 1

non è equivalente all'equazione irrazionale

Risoluzione equazioni irrazionali

La soluzione della prima equazione (x = -1) è una soluzione ESTRANEA alla seconda. In altre parole, l'equazione irrazionale e quella razionale ottenuta dalla sua trasformazione, non hanno la stessa soluzione.

 

 

 

Esempio 3.

Risoluzione equazioni irrazionali

 

Eleviamo entrambi i membri dell'equazione al quadrato

Risoluzione equazioni irrazionali

ed otteniamo

3x - 2 = 16 + x2 - 8x

Andiamo a risolvere:

 - x+ 3x + 8x - 2 - 16 = 0

- x2 + 11x - 18 = 0

 x2 - 11x + 18 = 0

 

Risoluzione equazioni irrazionali

 

Ora, andiamo a cercare il dominio della equazione irrazionale di partenza. Esso è dato 

3x - 2 ≥ 0 

3x ≥ 2

x ≥ 2/3.

 

Entrambe le soluzioni trovate rientrano nel campo di esistenza dell'equazione irrazionale, dato che sia 2 che 9 sono maggiori di 2/3.

Ora, però, andiamo a sostituire i valori trovati all'incognita della equazione irrazionale. Partiamo con il primo risultato:

x = 2

Avremo:

Risoluzione equazioni irrazionali

Quindi 2 è una soluzione accettabile.

 

Passiamo al secondo risultato ottenuto:

x = 9

Avremo:

Risoluzione equazioni irrazionali

Quindi 9 è una soluzione ESTRANEA all'equazione irrazionale data.

In altre parole, l'equazione razionale ottenuta, elevando al quadrato entrambi i membri dell'equazione irrazionale, non è equivalente a quest'ultima.

 

Allora chiediamoci: "Come facciamo a sapere se le soluzioni trovate sono anche soluzioni dell'equazione irrazionale di partenza?"

Il modo più semplice è quello di VERIFICARE che le soluzioni ottenute siano anche soluzioni dell'equazione di partenza, andando a sostituire all'incognita dell'equazione irrazionale le soluzioni trovate e SCARTANDO le SOLUZIONI ESTRANEE.

Esiste, però, anche un secondo metodo che consiste nel porre delle condizioni iniziali che ci permettono di avere solamente soluzioni che sono anche soluzioni dell'equazione di partenza. Ma questo lo vedremo nelle lezioni successive.

Infine, potremmo chiederci perché accade che elevando al quadrato entrambi i membri di un'equazione irrazionale non sempre otteniamo un'equazione equivalente a quella data. Risponderemo a questa domanda nella prossima lezione.

 

 

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