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RISOLUZIONE EQUAZIONE IRRAZIONALI con UN SOLO RADICALE di INDICE PARI

 

 



Per comprendere  

 

Continuiamo ad esaminare i diversi tipi di EQUAZIONI IRRAZIONALI con RADICALI QUADRATICI.

In questa lezione vedremo come risolvere un'equazione del tipo:

Risoluzione equazioni irrazionali

 

 

Poiché dobbiamo risolvere un'equazione irrazionale con radicali quadratici, per avere delle soluzioni accettabili, la prima cosa da fare è porre come condizione che il RADICANDO, sia MAGGIORE o UGUALE a ZERO.

 

Sempre affinché le soluzioni trovate siano accettabili, è necessario porre come ulteriore condizione che

B(x) ≥ 0

perché estraendo una radice quadrata avremo sempre un valore positivo o tutt'al più uguale a zero. Quindi dobbiamo escludere il caso in cui B(x) è minore di 0.

 

Per risolvere l'equazione è necessario ELEVARE entrambi i membri al QUADRATO, in modo da eliminare la radice presente a primo membro e risolvere come una normale equazione razionale

Risoluzione equazioni irrazionali

 

Tuttavia, le soluzioni che andremo a trovare, dovranno soddisfare le condizioni di accettabilità poste.

 

In altre parole si tratterà di risolvere il seguente sistema:

 Risoluzione equazioni irrazionali

 

Osservando con attenzione il nostro sistema notiamo che

A(x) = [B(x)]2.

 

Poiché qualsiasi valore ELEVATO AL QUADRATO è sempre POSITIVO, o tutt'al più uguale a zero, possiamo dire che

[B(x)]2 ≥ 0

 

Di conseguenza, poiché A(x) è uguale [B(x)]2, cioè  è uguale ad un valore positivo o al più uguale a zero, anch'esso sarà positivo o uguale a zero.

Pertanto porre nel sistema la condizione 

A(x) ≥ 0

è superfluo e il nostro sistema può essere scritto nel modo che segue:

Risoluzione equazioni irrazionali

 

In altre parole significa che dobbiamo impostare e risolvere un sistema con due equazioni tali che:

  • la prima equazione pone la CONDIZIONE di POSITIVITA' del SECONDO MEMBRO;

  • la seconda la si ottiene ELEVANDO ENTRAMBI I MEMBRI dell'equazione data al QUADRATO.

 

 

Quindi diciamo che, per trovare la soluzione da noi cercata, risolvere il sistema 

Risoluzione equazioni irrazionali

 

non è errato, tuttavia è sufficiente risolvere il sistema

 

Risoluzione equazioni irrazionali

 

 

Ovviamente, la regola esposta vale per tutte le equazioni irrazionali del tipo:

Risoluzione equazioni irrazionali

con n pari

 

che andranno risolte impostando un sistema con due equazioni tali che:

  • la seconda la si ottiene ELEVANDO ENTRAMBI I MEMBRI dell'equazione data ad n.

Ovvero:

Risoluzione equazioni irrazionali

 

 

 

Nella prossima lezione andremo a vedere alcuni esempi di applicazione di quanto detto in questa lezione.

 

 

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