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EQUAZIONI IRRAZIONALI risolvibili in  MODO IMMEDIATO

 

 



Per comprendere  

 

Nelle lezione precedente abbiamo detto che, nella maggior parte dei casi, le equazioni irrazionali vengono risolte elevando a potenza entrambi i membri dell'equazione, una o più volte, fino a che essa non viene trasformata in un'equazione razionale.

Tuttavia, a volte, l'equazione irrazionale si presenta in maniera tale che è possibile risolverla in MODO IMMEDIATO, senza che sia necessaria la sua trasformazione in un'equazione razionale: si tratta di casi nei quali è sufficiente procedere ad un semplice ragionamento.

Di seguito riportiamo alcuni casi nei quali è possibile procedere in tal modo.

 

1° CASO

Equazione irrazionale del tipo

Risoluzione equazioni irrazionali

con

n PARI

e

k che rappresenta un NUMERO RAZIONALE NEGATIVO.

 

Essendo l'INDICE della radice PARI, affinché l'equazione abbia significato è necessario che il RADICANDO sia MAGGIORE o UGUALE a zero: quindi il radicando deve essere o un numero positivo o lo zero. Ma la radice di un numero positivo è, a sua volta, un NUMERO POSITIVO. Invece, la radice ennesima di zero è sempre pari a ZERO. Quindi, in entrambi i casi, la radice ennesima di A(x) non potrà essere un numero negativo.

Quindi, senza bisogno di risolverla, possiamo dire che l'equazione è IMPOSSIBILE: in altre parole non ha soluzioni.

Esempi:

Risoluzione equazioni irrazionali

sono tutte equazioni impossibili, che non ammettono soluzioni.

 

 

2° CASO

Equazione irrazionale del tipo

Risoluzione equazioni irrazionali

con

n PARI.

 

Poiché l'INDICE delle due radici è PARI, affinché l'equazione abbia significato è necessario che il RADICANDO di entrambe le radici sia MAGGIORE o UGUALE a zero: quindi i due radicandi dovranno essere  o un numero positivo o lo zero. Sappiamo anche che la radice di un numero positivo è, a sua volta, un NUMERO POSITIVO, mentre la radice ennesima di zero è sempre pari a ZERO. Quindi, affinché la somma delle due radici sia uguale a zero è necessario che 

A(x) = 0

e

B(x) = 0.

Tuttavia, se i due radicandi sono diversi, si annulleranno per valori diversi e, quindi, non si verificherà contemporaneamente la condizione che

A(x) = 0

E

B(x) = 0.

 

Quindi l'equazione è IMPOSSIBILE.

 

Esempio:

Risoluzione equazioni irrazionali

Dovremmo porre 

4x = 0

e

2x - 1 = 0

da cui ricaviamo

x = 0

e

2x = 1 -> x =1/2.

E' chiaro che non potranno essere soddisfatte contemporaneamente entrambe le condizioni, quindi l'equazione è impossibile.

 

Un'equazione di questo tipo ammette soluzioni solamente se

A(x) = B(x).

Esempio:

Risoluzione equazioni irrazionali

Ponendo 

x - 2  = 0

e

x - 2 = 0

otteniamo

x = 2

e

x = 2.

 

E' chiaro che l'equazione è verificata per

x = 2.

Infatti, in questo caso avremo:

Risoluzione equazioni irrazionali

 

 

3° CASO

Equazione irrazionale del tipo

Risoluzione equazioni irrazionali

con

n PARI.

 

Come abbiamo già avuto modo di dire, la somma di due radici di indice pari è uguale a zero solamente se i due radicandi sono uguali a zero, cioè se:

x2 + x = 0

e

x = 0.

Ma ciò si verifica solamente per 

x = 0.

 

Esempio:

Risoluzione equazioni irrazionali

Per quanto detto sopra essa è vera solamente se 

x = 0.

 

 

Lezione precedente - Lezione successiva

Indice argomenti sulle equazioni irrazionali

 

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