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EQUAZIONI IRRAZIONALI FRATTE

 

 



Per comprendere  

 

Un'EQUAZIONE IRRAZIONALE si dice FRATTA quando a DENOMINATORE troviamo un RADICALE il cui radicando contiene l'incognita.

 

Esempi:

Equazioni irrazionali fratte

Queste sono tutte equazioni irrazionali fratte.

 

Ora chiediamoci: "Come si risolvono le equazioni irrazionali fratte?".

Come sempre possiamo optare per due metodi:

  • il primo metodo consiste nel cercare le soluzioni dell'equazione e nell'effettuare, successivamente, la VERIFICA andando a sostituire tali soluzioni nell'equazione di partenza in modo da vedere quali sono le soluzioni accettabili e quali quelle estranee;

  • il secondo metodo consiste nel porre, prima di risolvere l'equazione, le CONDIZIONI affinché i risultati trovati non siano estranei all'equazione di partenza. Usando questo secondo metodo, sarà importante distinguere il caso in cui i radicali indicati nell'equazione abbiano indice pari da quello in cui essi abbiano indice dispari poiché cambiano, come abbiamo visto nelle lezioni precedenti, le condizioni da porre. Alle solite condizioni, che valgono per tutte le equazioni irrazionali, occorre AGGIUNGERE quella che il DENOMINATORE sia DIVERSO DA ZERO.

 

Vediamo, come occorre procedere attraverso un esempio.

Come si risolvono le equazioni irrazionali fratte

 

Utilizziamo il secondo metodo, e cominciamo col vedere quali sono le condizioni da porre affinché le soluzioni trovate siano accettabili.

Poiché i radicali presenti hanno indice pari, dobbiamo porre come condizioni che i radicandi siano pari o maggiori di zero. I due radicandi sono uguali quindi dovremo porre una sola condizione, ovvero:

x ≥ 0 

 

Poiché nell'equazione sono presenti due frazioni, dobbiamo aggiungere anche la condizione che i denominatori delle frazioni siano diversi da zero. Essendo i denominatori delle due frazioni uguali, porremo una sola condizione, cioè:

Come si risolvono le equazioni irrazionali fratte

 

Andiamo a vedere quando, questa condizione si verifica:

Come si risolvono le equazioni irrazionali fratte

 

Quindi, il denominatore della frazione si annulla per 

x = 9

Di conseguenza noi dovremo andare a prendere i valori diversi da 9.

 

Il sistema che dobbiamo risolvere, quindi, è

 

Come si risolvono le equazioni irrazionali fratte

 

Risolviamo l'ultima equazione:

Come si risolvono le equazioni irrazionali fratte

 

Moltiplichiamo entrambi i membri dell'equazione per

Come si risolvono le equazioni irrazionali fratte

ed otteniamo

Come si risolvono le equazioni irrazionali fratte

 

Ora eleviamo al quadrato entrambi i membri dell'equazione, in modo da eliminare la radice a secondo membro, e risolviamo nei modi consueti:

Come si risolvono le equazioni irrazionali fratte

 

Scriviamo anche questa soluzione nel nostro sistema e avremo:

Come si risolvono le equazioni irrazionali fratte

Il risultato trovato

x = 1

è maggiore di zero ed è, al tempo stesso, diverso da 9: quindi la nostra soluzione è accettabile.

 

 

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