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RISOLUZIONE di EQUAZIONE IRRAZIONALI con UN SOLO RADICALE di INDICE PARI

 



Per comprendere  

 

Nella lezione precedente, abbiamo accennato a come si risolvono le EQUAZIONI IRRAZIONALI con RADICALI QUADRATICI. Ora, vediamo concretamente come possiamo fare.

In questa lezione inizieremo ad esaminare il caso di una equazione del tipo:

 

Risoluzione equazioni irrazionali

 

dove

k Î R

che si legge

k appartenente all'insieme dei numeri reali.

 

Supponiamo, inoltre che sia

k ≥ 0.

 

Dato che a primo membro dobbiamo estrarre una radice quadrata, da essa otterremo sempre un valore positivo o tutt'al più uguale a zero. Quindi anche il secondo membro dovrà essere positivo, o al più uguale a zero: cosa che rientra dall'ipotesi da noi posta 

k ≥ 0.

 

Poiché stiamo risolvendo un'equazione irrazionale con radicali quadratici, per avere delle soluzioni accettabili, la prima cosa da fare è porre come condizione che il RADICANDO, cioè tutto ciò che è posto sotto la radice, sia MAGGIORE o UGUALE a ZERO.

Questo significa che dobbiamo impostare e risolvere un sistema con due equazioni tali che:

  • la seconda la si ottiene ELEVANDO ENTRAMBI I MEMBRI dell'equazione data al QUADRATO

ovvero

Risoluzione equazioni irrazionali

 

 

Esempi:

Risoluzione equazioni irrazionali

Iniziamo col dire che il dominio del nostro radicale è

x + 4 ≥ 0.

 

Ora, poiché al secondo membro abbiamo un numero positivo 2, possiamo andare ad elevare al quadrato entrambi i membri dell'equazione ed essere certi che il risultato trovato sarà un risultato accettabile a condizione che rientri nel campo di esistenza del radicale.

Impostiamo, quindi, il nostro sistema:

Risoluzione equazioni irrazionali

e andiamo a risolverlo.

Risoluzione equazioni irrazionali

 

 

Dato che  

0 (soluzione dell'equazione) ≥ -4 (campo di esistenza del radicale)

la soluzione trovata è una SOLUZIONE ACCETTABILE.

Verifichiamolo:

Risoluzione equazioni irrazionali

Noi abbiamo voluto verificarlo per dimostrarvi che era vero quanto stavamo dicendo, ma chiaramente, risolvendo il sistema nel quale abbiamo già posto le condizioni di accettabilità, non ci sarà più bisogno di procedere ad effettuare la verifica.

 

 

Se avessimo avuto

Risoluzione equazioni irrazionali

Il dominio del radicale sarebbe stato sempre

x + 4 ≥ 0 

x ≥ - 4.

In questo caso, dato che al secondo membro abbiamo un numero negativo -2, possiamo dire da subito che l'equazione è IMPOSSIBILE. Infatti

Risoluzione equazioni irrazionali

 

La soluzione trovata rientra nel campo di esistenza del radicale, ma andando a fare la verifica vediamo che:  

Risoluzione equazioni irrazionali

 

Anche in questo caso noi abbiamo voluto verificarlo per dimostrarvi che era vero quanto avevamo affermato, ma chiaramente non ci sarebbe stato bisogno di  procedere ad effettuare la verifica.

 

Se vi ricordate, in una lezione precedente, avevamo detto che questo caso

 

Risoluzione equazioni irrazionali

con

k negativo

è uno di quei casi che possiamo risolvere in modo immediato, senza bisogno di effettuare alcun conteggio, ma solo attraverso un semplice ragionamento.

 

Vediamo un altro esempio:

 

Risoluzione equazioni irrazionali

 

Impostiamo e risolviamo il solito sistema:

Risoluzione equazioni irrazionali

 

Ora, poiché al secondo membro abbiamo un numero positivo, ovvero Radice di 7, possiamo andare ad elevare al quadrato entrambi i membri dell'equazione ed essere certi che il risultato trovato sarà un risultato accettabile a condizione che rientri nel campo di esistenza del radicale.

Risoluzione equazioni irrazionali

Dato che  

1 (soluzione dell'equazione) ≥ -4/3 (campo di esistenza del radicale)

la soluzione trovata è una SOLUZIONE ACCETTABILE.

 

 

Quando abbiamo detto in questa lezione, con riferimento alle equazioni irrazionali contenenti RADICALI QUADRATICI, vale per tutte le equazioni irrazionali del tipo:

Risoluzione equazioni irrazionali

con n pari

 

Queste equazioni andranno risolte impostando un sistema con due equazioni tali che:

  • la seconda la si ottiene ELEVANDO ENTRAMBI I MEMBRI dell'equazione data ad n.

 

Esempio:

Risoluzione equazioni irrazionali

Essendo  

16 (soluzione dell'equazione) ≥ 0 (campo di esistenza del radicale)

la soluzione trovata è una SOLUZIONE ACCETTABILE.

 

 

Nelle prossime lezioni continueremo ad esaminare altri casi di risoluzione di equazioni irrazionali.

 

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