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EQUAZIONI PURE

 

Per comprendere  

 

Abbiamo visto in una precedente lezione che un'EQUAZIONE di SECONDO GRADO del tipo:

ax2 + c = 0

si dice PURA.

Vediamo, ora, come si risolve un'equazione di questo tipo.

 

Data la nostra equazione

ax2 + c = 0

portiamo c a secondo membro cambiando di segno. Avremo:

ax2 = -c.

 

Dividiamo entrambi i membri dell'equazione per a e abbiamo:

x2 = -c/a.

 

Poiché noi dobbiamo trovare il valore di x, ma abbiamo il valore di x2, dobbiamo estrarre la radice quadrata dal primo e dal secondo membro. Ovvero:

Risoluzione equazione pura

Da cui abbiamo:

Risoluzione equazione pura

 

Esaminiamo ora il valore posto sotto radice, ovvero -c/a:

Risoluzione equazione pura

 

Innanzitutto facciamo una precisazione:

-c/a non indica necessariamente un valore negativo. Ad esempio:

Risoluzione equazione pura

Quindi

Risoluzione equazione pura

 

Ipotizziamo che -c/a sia un NUMERO NEGATIVO, ovvero:

-c/a < 0.

Noi sappiamo che la radice è l'operazione inversa all'elevamento a potenza.

Inoltre sappiamo che la potenza di un numero relativo kn si determina nel modo seguente:

  • il suo valore assoluto si ottiene moltiplicando il valore assoluto per se stesso per n volte.

  • il suo segno sarà positivo se l'esponente è pari, mentre risulterà invariato rispetto al segno della base se l'esponente è dispari.

La radice quadrata, in particolare, è l'operazione inversa rispetto all'elevamento al quadrato.

Quindi, se abbiamo un numero relativo 

k

e lo eleviamo alla seconda, ovvero:

k2

otterremo sempre un numero positivo essendo l'esponente pari.

 

Quindi, dato un numero dispari, non possiamo trovare la sua radice quadrata. Pertanto se 

-c/a < 0

la nostra equazione NON HA SOLUZIONI.

 

Viceversa, se

-c/a > 0

 

la nostra equazione ammette DUE SOLUZIONI. Cioè:

Risoluzione equazione pura

 

Cerchiamo di capirne il perché.

Prendiamo un numero qualunque positivo, ad esempio, +2 e calcoliamone il quadrato. Avremo:

+22 = +4.

 

Ora prendiamo lo stesso numero, ma con segno negativo, ovvero, -2 e calcoliamone il quadrato. Avremo:

-22 = +4.

Se ora cerchiamo la radice quadrata di 4 possiamo dire che essa è sia +2 che -2. Cioè:

Risoluzione equazione pura

che si può scrivere anche:

Risoluzione equazione pura

 

In maniera analoga, quando cerchiamo la radice quadrata di -c/a dovremo prendere come soluzioni:

Risoluzione equazione pura

 

 

Infine, se

c = 0

avremo:

ax2 + 0 = 0

cioè:

ax2 = 0

che può essere scritta come:

a·x·x = 0. 

Posto che a è diverso da zero, cioè posto:

a ≠ 0

per la legge di annullamento del prodotto l'equazione è uguale a zero quando x è uguale a zero.

In questo caso lo zero si dice RADICE DOPPIA dato che la soluzione zero viene contata due volte:

 

Risoluzione equazione pura

 

Ricapitolando:

-c/a < 0 IMPOSSIBILE
-c/a > 0 Risoluzione equazione pura
-c/a = 0 x1 = 0                x2 =0

 

Vediamo un esempio.

4x2 -1 = 0

4x2 = 1

x2 = 1/4

 

Risoluzione equazione pura

 

 

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Indice argomenti su equazioni di secondo grado ad una incognita

 

Per comprendere

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