ARCHI OPPOSTI

Per comprendere meglio questo argomento, leggi prima le seguenti lezioni:
 

Disegniamo la circonferenza goniometrica e l'angolo orientato α:

Archi opposti


Abbiamo chiamato P il punto associato all'angolo orientato α. Tale punto ha come coordinate il coseno e il seno dell'angolo α. Quindi possiamo scrivere:

P (cos α ; sen α).


Ora andiamo a disegnare il punto P1 (che si legge P con uno) SIMMETRICO di P rispetto all'asse delle x.

Archi opposti


Essendo il punto P1 simmetrico a P rispetto all'asse delle ascisse esso avrà come coordinate:

P1 (cos α ; -sen α)


Notiamo ora che il punto P1 è il punto associato all'angolo orientato β:

Archi opposti


Ora vogliamo capire quanto vale l'angolo β o meglio, vogliamo capire come possiamo esprimere l'angolo β in termini di α: il che significa RIDURRE l'angolo β al PRIMO QUADRANTE.


Costruiamo il triangolo OHP1 e confrontiamolo con il triangolo OHP:

Archi opposti


Osserviamo che, entrambi i triangoli hanno un angolo retto: quello con vertice in H in quanto la retta PP1 è perpendicolare all'asse delle x. Quindi entrambi sono TRIANGOLI RETTANGOLI.

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Nei due triangoli sono CONGUENTI:

  • l'ipotenusa, infatti, sia OP che OP1 sono RAGGI della circonferenza goniometrica e quindi, sono pari ad 1
  • il cateto OH che è comune ad entrambi i triangoli.

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Ma noi sappiamo che due triangoli rettangoli che hanno l'ipotenusa ed un cateto congruenti, sono congruenti. Di conseguenza l'ampiezza dell'angolo α e dell'angolo β sarà la stessa, ma trattandosi di angoli orientati possiamo scrivere che:

β = -α


Archi opposti


Di conseguenza, essendo:

P1 (cos α ; -sen α)

possiamo dire che:

sen (-α) = -sen α

cos (-α) = cos α


Dalle due funzioni goniometriche fondamentali possiamo ricavare tutte le altre.

Quindi:

Archi opposti


Poiché abbiamo appena visto che

sen (-α) = -sen α

e che

cos (-α) = cos α

possiamo scrivere:

Archi opposti


e ricordando che

tan α = sen α/cos α

possiamo scrivere:

Archi opposti


Procediamo in maniera analoga per trovare le altre funzioni goniometriche:

Archi opposti


Archi opposti


Archi opposti



Così, ad esempio, se abbiamo un angolo di -30° e vogliamo conoscere il suo seno, basterà sapere che il seno dell'angolo opposto, cioè dell'angolo di 30°, è pari ad 1/2: di conseguenza il seno dell'angolo di -30° è pari a -1/2.

 
 
 
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