COSECANTE

Per comprendere meglio questo argomento, leggi prima le seguenti lezioni:
 

Disegniamo la circonferenza goniometrica e l'angolo orientato α:

Funzione cosecante

Ora disegniamo la retta TANGENTE alla circonferenza goniometrica nel punto P:

Funzione cosecante

ed indichiamo:

  • con S il punto in cui tale retta interseca l'asse delle ascisse;
  • e con C il punto in cui tale retta interseca l'asse delle ordinate.

Funzione cosecante

Abbiamo già visto, nelle lezioni precedenti, il concetto di secante dell'angolo α, ora vediamo in cosa consiste la COSECANTE.


Si chiama COSECANTE l'ORDINATA del punto C in cui, la retta secante la circonferenza goniometrica nel punto P, interseca l'asse delle y.

Indichiamo la cosecante con il simbolo

cosec α

oppure

csc α

che si leggono entrambi

cosecante di alfa

Funzione cosecante



Esiste, però, anche un altro modo di definire la cosecante.

Per farlo osserviamo i triangoli OHP e OCP:

Funzione cosecante

Essi hanno in comune due angoli:


Funzione cosecante

Ma noi sappiamo che due triangoli che hanno due angoli ordinatamente congruenti sono SIMILI tra loro.

Funzione cosecante

Di conseguenza, questi due triangoli hanno i LATI CORRISPONDENTI PROPORZIONALI. Quindi saranno tra loro proporzionali:

  • il lato OC del triangolo OCP con il lato OP del triangolo OPH

    Funzione cosecante

  • e il lato OP del triangolo OCP con il lato OH del triangolo OPH

    Funzione cosecante


Pertanto possiamo scrivere la seguente proporzione:

OC : OP = OP : OH

Dove:

  • i termini a sinistra del simbolo = indicano rispettivamente l'IPOTENUSA e il CATETO compreso tra l'angolo β e l'angolo retto del triangolo OPC;
  • mentre i termini a destra del simbolo = indicano rispettivamente l'IPOTENUSA e il CATETO compreso tra l'angolo β e l'angolo retto del triangolo OPH.

Ma noi sappiamo che OH non è altro che il SENO dell'angolo α e sappiamo anche che OP è il RAGGIO della circonferenza goniometrica che è uguale a 1. Quindi la nostra proporzione può essere scritta nel modo seguente:

OC : 1 = 1 : sen α


Inoltre OC è la COSECANTE dell'angolo α. Quindi possiamo scrivere:

cosec α : 1 = 1 : sen α

da cui otteniamo:

cosec α · sen α = 1 · 1

Eseguendo la moltiplicazione a secondo membro abbiamo:

cosec α · sen α = 1

da cui otteniamo

Funzione cosecante

Quindi possiamo affermare che la COSECANTE è anche la FUNZIONE RECIPROCA del SENO.

 
 
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