COTANGENTE

Per comprendere meglio questo argomento, leggi prima le seguenti lezioni:
 

Disegniamo la circonferenza goniometrica e l'angolo orientato α:

Funzione cotangente

Ora disegniamo la retta TANGENTE alla circonferenza goniometrica nel punto B di coordinate (0 ; 1):

Funzione cotangente

ed indichiamo con H il punto in cui tale retta interseca la retta OP:

Funzione cotangente

Chiamiamo COTANGENTE dell'angolo α l'ASCISSA del punto H e la indichiamo con il simbolo

cotg α

oppure

cot α

o ancora

cotan α

che si leggono tutti

cotangente di alfa

Funzione cotangente



Esiste, però, anche un altro modo di definire la cotangente.

Per farlo osserviamo i triangoli OQP e OBH:

Funzione cotangente

Essi hanno in comune:


Funzione cotangente

Ma noi sappiamo che due triangoli che hanno due angoli ordinatamente congruenti sono SIMILI tra loro.

Funzione cotangente

LA LEZIONE PROSEGUE SOTTO LA PUBBLICITA'

Di conseguenza, questi due triangoli hanno i LATI CORRISPONDENTI PROPORZIONALI. Quindi saranno tra loro proporzionali:

  • il lato BH del triangolo OBH con il lato QP del triangolo OQP

    Funzione cotangente

  • e il lato OB del triangolo OBH con il lato OQ del triangolo OQP

    Funzione cotangente


Pertanto possiamo scrivere la seguente proporzione:

BH : OB = QP : OQ

Dove:

  • i termini a sinistra del simbolo = indicano i due CATETI del triangolo OBH;
  • mentre i termini a destra del simbolo = indicano i due CATETI del triangolo OQP.

Ma noi sappiamo che:

  • OB è il RAGGIO della circonferenza goniometrica che è uguale a 1;
  • QP è il COSENO dell'angolo α;
  • OQ è il SENO dell'angolo α;

Quindi la nostra proporzione può essere scritta nel modo seguente:

BH : 1 = cos α : sen α


Ma BH è la COTANGENTE dell'angolo α. Quindi possiamo scrivere:

cot α : 1 = cos α : sen α

da cui otteniamo:

cot α · sen α = 1 · cos α


Dividendo entrambi i membri della nostra proprozione, per sen α, avremo:

Funzione cotangente

Quindi possiamo dire che la CONTANGENTE di un angolo non è altro che il RAPPORTO tra il COSENO e il SENO dell'angolo stesso.




Dallo studio della TANGENTE, e in modo particolare della seconda relazione fondamentale della goniometria sappiamo che:

tan α = sen α/ cos α


E' evidente, allora, che la COTANGENTE non è altro che la FUNZIONE RECIPROCA della TANGENTE. Infatti, essendo

Funzione cotangente

il reciproco del primo e del secondo membro diventano:

Funzione cotangente

che non è altro che la COTANGENTE:

Funzione cotangente

 
 
 
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