COTANGENTE

Per comprendere meglio questo argomento, leggi prima le seguenti lezioni:
 

Disegniamo la circonferenza goniometrica e l'angolo orientato α:

Funzione cotangente

Ora disegniamo la retta TANGENTE alla circonferenza goniometrica nel punto B di coordinate (0 ; 1):

Funzione cotangente

ed indichiamo con H il punto in cui tale retta interseca la retta OP:

Funzione cotangente

Chiamiamo COTANGENTE dell'angolo α l'ASCISSA del punto H e la indichiamo con il simbolo

cotg α

oppure

cot α

o ancora

cotan α

che si leggono tutti

cotangente di alfa

Funzione cotangente



Esiste, però, anche un altro modo di definire la cotangente.

Per farlo osserviamo i triangoli OQP e OBH:

Funzione cotangente

Essi hanno in comune:


Funzione cotangente

Ma noi sappiamo che due triangoli che hanno due angoli ordinatamente congruenti sono SIMILI tra loro.

Funzione cotangente

Di conseguenza, questi due triangoli hanno i LATI CORRISPONDENTI PROPORZIONALI. Quindi saranno tra loro proporzionali:

  • il lato BH del triangolo OBH con il lato QP del triangolo OQP

    Funzione cotangente

  • e il lato OB del triangolo OBH con il lato OQ del triangolo OQP

    Funzione cotangente


Pertanto possiamo scrivere la seguente proporzione:

BH : OB = QP : OQ

Dove:

  • i termini a sinistra del simbolo = indicano i due CATETI del triangolo OBH;
  • mentre i termini a destra del simbolo = indicano i due CATETI del triangolo OQP.

Ma noi sappiamo che:

  • OB è il RAGGIO della circonferenza goniometrica che è uguale a 1;
  • QP è il COSENO dell'angolo α;
  • OQ è il SENO dell'angolo α;

Quindi la nostra proporzione può essere scritta nel modo seguente:

BH : 1 = cos α : sen α


Ma BH è la COTANGENTE dell'angolo α. Quindi possiamo scrivere:

cot α : 1 = cos α : sen α

da cui otteniamo:

cot α · sen α = 1 · cos α


Dividendo entrambi i membri della nostra proprozione, per sen α, avremo:

Funzione cotangente

Quindi possiamo dire che la CONTANGENTE di un angolo non è altro che il RAPPORTO tra il COSENO e il SENO dell'angolo stesso.




Dallo studio della TANGENTE, e in modo particolare della seconda relazione fondamentale della goniometria sappiamo che:

tg α = sen α/ cos α


E' evidente, allora, che la COTANGENTE non è altro che la FUNZIONE RECIPROCA della TANGENTE. Infatti, essendo

Funzione cotangente

il reciproco del primo e del secondo membro diventano:

Funzione cotangente

che non è altro che la COTANGENTE:

Funzione cotangente

 
 
 
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