TANGENTE

Per comprendere meglio questo argomento, leggi prima le seguenti lezioni:
 

Disegniamo la circonferenza goniometrica e l'angolo orientato α.

Tangente dell'angolo alfa


Ora disegniamo una RETTA TANGENTE alla CIRCONFERENZA nel punto A (0 ; 1) e chiamiamo tale retta t

.

Tangente dell'angolo alfa


La retta t come si può vedere dall'immagine sopra è PARALLELA all'asse delle y.

Abbiamo indicato con P il punto della circonferenza goniometrica associato all'angolo orientato α.

Ora andiamo ad individuare il punto in cui la retta OP interseca la retta t che abbiamo appena disegnato: chiamiamo questo punto T:

Tangente dell'angolo alfa


L'ASCISSA del punto T è la stessa del punto A e di tutti i punti della retta t ed esattamente essa è pari ad 1. Inoltre, come si può notare, tale ascissa non dipende dall'ampiezza dell'angolo α.

Invece, l'ORDINATA del punto T dipende dall'ampiezza dell'angolo α.

Vediamolo attraverso un esempio:

  • disegniamo sulla circonferenza goniometrica l'angolo orientato β (che si legge beta);
  • disegniamo il punto P' (che si legge P primo), cioè il punto della circonferenza goniometrica associato all'angolo orientato β;
  • disegniamo la retta t' (che si legge t primo) tangente alla circonferenza nel punto A;
  • disegniamo il punto T' (che si legge T primo) cioè il punto in cui la retta OP' interseca la retta t'.

Tangente dell'angolo alfa


E' evidente che il punto T e il punto T' hanno sempre la stessa ascissa (1) mentre è diversa la loro ordinata.


Si chiama TANGENTE dell'angolo orientato α l'ORDINATA del punto in cui la RETTA TANGENTE alla circonferenza goniometrica nel suo punto di ascissa 1, incontra la retta OP, dove P è il punto associato all'angolo α.

Per indicare la tangente dell'angolo α si usa il simbolo

tan α

oppure

tg α

entrambi si leggono
tangente di alfa.


Quindi possiamo scrivere:

T (1; tan α)



Ora osserviamo cosa accade quando il punto P APPARTIENE all'ASSE delle ORDINATE.

Tangente dell'angolo alfa


In questo caso la retta OP e la retta t, tangente alla circonferenza goniometrica nel punto A, sono PARALLELE e non si intersecano mai.

Abbiamo detto che questo accade quando il punto P si trova sull'asse delle ordinate, quindi quando esso ha coordinate:

P (0 ; 1)

oppure

P (0 ; -1)

e noi sappiamo che ciò si verifica:

  • quando l'angolo α misura

    90°,     90° + 360°,      90° + 2·360°,     90° + 3·360°     ...

    cioè quando

    α = 90° + k·360°

    con k ∈ Z

    che si legge

    con k appartenente all'insieme dei numeri relativi.


    Esprimendo l'angolo in radianti possiamo dire che ciò si verifica quando

    α = π/2 + 2k·π



  • e quando l'angolo α misura

    -90°,     -90° + 360°,      -90° + 2·360°,     -90° + 3·360°     ...

    cioè quando

    α = -90° + k·360°

    con k ∈ Z


    Esprimendo l'angolo in radianti possiamo dire che ciò si verifica quando

    α = -π/2 + 2k·π




Quindi possiamo concludere dicendo che il valore della TANGENTE di α NON è DEFINITO quando

α = ±90° + k·360°

con k ∈ Z

cioè quando

α = ±π/2 + 2kπ radianti




Così come abbiamo detto per il seno e per il coseno, anche per la tangente possiamo dire che essa non è espressa da nessuna unità di misura in quanto si tratta di un numero puro o potremmo dire di una grandezza priva di dimensione.


Nella prossima lezione vedremo un altro modo di definire la tangente.

 
 
 
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