ARCHI COMPLEMENTARI

Per comprendere meglio questo argomento, leggi prima le seguenti lezioni:
 

Dallo studio della geometria sappiamo che due ANGOLI si dicono COMPLEMENTARI quando la loro SOMMA è un ANGOLO RETTO.

Di conseguenza possiamo dire che l'angolo:

α

e l'angolo

(π/2) - α

sono due angoli COMPLEMENTARI.

Ricordiamo infatti che l'angolo di 90°, espresso in radianti, è uguale a π/2.

Quindi

(π/2) - α + α = π/2


Disegniamo la circonferenza goniometrica e l'angolo orientato α ed indichiamo con P il punto associato a tale angolo.

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Ora, sulla stessa circonferenza goniometrica, prendiamo l'angolo orientato (π/2)

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e togliamo da esso l'angolo α in modo da ottenere l'angolo (π/2) - α

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Andiamo ad indicare con P1 (che si legge P con uno) il punto associato all'angolo orientato (π/2) - α.


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Sappiamo, inoltre, che le coordinate del punto P rappresentano il coseno e il seno di α. Ovvero:

P (cos α ;sen α)


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Ora cerchiamo di capire quali sono le coordinate del punto P1.

Disegniamo il triangolo OHP e il triangolo OH1P1:

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Notiamo che entrambi i triangoli hanno un angolo retto: quello con vertice in H nel triangolo OHP e quello con vertice in H1 nel triangolo OH1P1.
Possiamo affermare con certezza che si tratta di due angoli retti poiché essi sono formati da una retta che interseca perpendicolarmente l'asse delle x, in un caso e l'asse delle y, nell'altro.

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Quindi entrambi sono TRIANGOLI RETTANGOLI.

Nei due triangoli sono CONGUENTI:

  • l'ipotenusa, infatti, sia OP che OP1 sono RAGGI della circonferenza goniometrica e quindi, sono pari ad 1
  • un angolo acuto ed esattamente l'angolo con vertice in O.

    Nel triangolo OHP sappiamo, come dato di partenza, che l'angolo con vertice in O è l'angolo α.

    Nel triangolo OH1P1 evidentemente l'angolo con vertice in O è l'angolo α dato che lo abbiamo ottenuto da (π/2) - α.


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Ma noi sappiamo che due triangoli rettangoli che hanno l'ipotenusa ed un angolo acuto congruenti, sono congruenti.

Quindi possiamo dire che:

  • il segmento OH è congruente con il segmento OH1;
  • e il segmento HP è congruente con il segmento H1P1;

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Ma noi sappiamo che il segmento OH1 è il SENO dell'angolo (π/2) - α, mentre il segmento OH è il COSENO dell'angolo α.

Quindi possiamo dire che il SENO dell'angolo (π/2) - α è uguale al COSENO dell'angolo α. Osserviamo che entrambi gli angoli sono situati nel primo quadrante, di conseguenza, entrambi avranno sia il seno che il coseno positivi, quindi non dobbiamo preoccuarci dei segni. Pertanto possiamo dire che:

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Sappiamo poi che il segmento H1P1 è il COSENO dell'angolo (π/2) - α, mentre il segmento HP è il SENO dell'angolo α. Anche in questo caso seno e coseno sono, in entrambi gli angoli, positivi. Quindi possiamo dire che il COSENO dell'angolo (π/2) - α è uguale al SENO dell'angolo α. Ovvero:

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Dalle due funzioni goniometriche fondamentali andiamo a ricavare le altre.

Quindi:

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Ma poiché abbiamo appena visto che:

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La tangente dell'angolo (π/2) - α diventa:

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Ma poichè sappiamo che

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possiamo scrivere:

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Procedendo allo stesso modo possiamo dire che:

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Così, ad esempio, se abbiamo un angolo di 60° e vogliamo conoscere il suo coseno, potremmo ragionare in questi termini:

60° = 90° - 30°

quindi il coseno dell'angolo di 60° è uguale al seno dell'angolo di 30° e poiché il seno dell'angolo di 30° è pari a 1/2, possiamo dire che il coseno dell'angolo di 60° è pari a 1/2.

 
 
Il nostro sito collabora ad una ricerca condotta dall'Università dell'Aquila e dall'Università di Pavia sulla didattica della matematica. Ti saremmo grati se volessi dedicarci alcuni minuti rispondendo ad un breve questionario.

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