ARCHI CHE DIFFERISCONO DI 3π/2

Per comprendere meglio questo argomento, leggi prima le seguenti lezioni:
 

In questa lezione esamineremo gli archi associati che differiscono di 3π/2, in altre parole vedremo la relazione esistente tra le funzioni goniometriche dell'angolo α e dell'angolo (3π/2) + α.

Il modo di procedere è sempre lo stesso: disegnamo la circonferenza goniometrica, l'angolo orientato α e chiamiamo P il punto associato a tale angolo.

Archi che differiscono di 3 pi greco mezzi


Sempre sulla stessa circonferenza goniometrica, individuiamo l'angolo orientato 3π/2, in altre parole l'angolo di 270°

Archi che differiscono di 3 pi greco mezzi


e, ad esso, aggiungiamo l'angolo α in modo da ottenere l'angolo (3π/2) + α

Archi che differiscono di 3 pi greco mezzi


Indichiamo con P1 il punto associato all'angolo orientato (3π/2) + α.


Archi che differiscono di 3 pi greco mezzi


Sappiamo che le coordinate del punto P rappresentano il coseno e il seno di α. Ovvero:

P (cos α ; sen α)


Archi che differiscono di 3 pi greco mezzi


A questo punto andiamo a disegnare il triangolo OHP e il triangolo OH1P1:

Archi che differiscono di 3 pi greco mezzi


Entrambi i triangoli hanno un angolo retto: quello con vertice in H nel triangolo OHP e quello con vertice in H1 nel triangolo OH1P1.
Possiamo affermare con certezza che si tratta di due angoli retti poiché essi sono formati da una retta che interseca perpendicolarmente l'asse delle x, in un caso, e l'asse delle y, nell'altro.

Archi che differiscono di 3 pi greco mezzi


Quindi entrambi i triangoli sono TRIANGOLI RETTANGOLI.


Nei due triangoli sono CONGUENTI:

  • l'ipotenusa. Infatti, sia OP che OP1 sono RAGGI della circonferenza goniometrica e quindi, sono pari ad 1;
  • un angolo acuto ed esattamente l'angolo con vertice in O.

    Nel triangolo OHP sappiamo, come dato di partenza, che l'angolo con vertice in O è l'angolo α.

    Nel triangolo OH1P1 evidentemente l'angolo con vertice in O è l'angolo α dato che lo abbiamo ottenuto sommando all'angolo 3π/2 l'angolo α.


Archi che differiscono di 3 pi greco mezzi


Ma noi sappiamo che due triangoli rettangoli che hanno l'ipotenusa ed un angolo acuto congruenti, sono congruenti.

Quindi possiamo dire che:

  • il segmento OH è congruente con il segmento OH1;
  • e il segmento HP è congruente con il segmento H1P1;

Archi che differiscono di 3 pi greco mezzi


Sappiamo anche che il segmento OH1 è il SENO dell'angolo (3π/2) + α, mentre il segmento OH è il COSENO dell'angolo α.

Notiamo, però, che il coseno dell'angolo α è positivo, mentre il seno dell'angolo (3π/2) + α è negativo, quindi possiamo dire che

Archi che differiscono di 3 pi greco mezzi


Sappiamo poi che il segmento H1P1 è il COSENO dell'angolo (3π/2) + α, mentre il segmento HP è il SENO dell'angolo α.

In questo caso osserviamo che il seno dell'angolo α e il coseno dell'angolo (3π/2) + α sono entrambi positivi quindi possiamo dire che

Archi che differiscono di 3 pi greco mezzi


A questo punto non ci resta che ricavare le altre funzioni goniometriche.

Archi che differiscono di 3 pi greco mezzi



Archi che differiscono di 3 pi greco mezzi


Archi che differiscono di 3 pi greco mezzi


Archi che differiscono di 3 pi greco mezzi




Pertanto, se vogliamo sapere qual è la tangente dell'angolo di 315°, possiamo dire che:

315° = 270° + 45°.

Quindi la tangente dell'angolo di 315° è uguale all'opposto della cotangente dell'angolo di 45° e poiché la cotangente dell'angolo di 45° è pari a 1, possiamo dire che la tangente dell'angolo di 315° è uguale a -1.

 
 
 
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