ARCHI LA CUI SOMMA E' 3π/2

Per comprendere meglio questo argomento, leggi prima le seguenti lezioni:
 

Proseguiamo l'esame degli archi associati ed occupiamoci degli angoli α e (3π/2) - α.

Come sempre disegnamo la circonferenza goniometrica, l'angolo orientato α e chiamiamo P il punto associato a tale angolo.

Archi la cui somma è 3 pi greco mezzi


Sempre sulla stessa circonferenza goniometrica, individuiamo l'angolo orientato 3π/2, in altre parole l'angolo di 270°

Archi la cui somma è 3 pi greco mezzi


e, ad esso, sottraiamo l'angolo α in modo da ottenere l'angolo (3π/2) - α

Archi la cui somma è 3 pi greco mezzi


Indichiamo con P1 il punto associato all'angolo orientato (3π/2) - α.


Archi la cui somma è 3 pi greco mezzi


Sappiamo che le coordinate del punto P rappresentano il coseno e il seno di α. Ovvero:

P (cos α ; sen α)


Archi la cui somma è 3 pi greco mezzi


A questo punto andiamo a disegnare il triangolo OHP e il triangolo OH1P1:

Archi la cui somma è 3 pi greco mezzi


Entrambi i triangoli hanno un angolo retto: quello con vertice in H nel triangolo OHP e quello con vertice in H1 nel triangolo OH1P1.
Possiamo affermare con certezza che si tratta di due angoli retti poiché essi sono formati da una retta che interseca perpendicolarmente l'asse delle x, in un caso, e l'asse delle y, nell'altro.

Archi la cui somma è 3 pi greco mezzi


Quindi entrambi i triangoli sono TRIANGOLI RETTANGOLI.


Nei due triangoli sono CONGUENTI:

  • l'ipotenusa. Infatti, sia OP che OP1 sono RAGGI della circonferenza goniometrica e quindi, sono pari ad 1;
  • un angolo acuto ed esattamente l'angolo con vertice in O.

    Nel triangolo OHP sappiamo, come dato di partenza, che l'angolo con vertice in O è l'angolo α.

    Nel triangolo OH1P1 evidentemente l'angolo con vertice in O è l'angolo α dato che lo abbiamo ottenuto sottraendo all'angolo 3π/2 l'angolo α.


Archi la cui somma è 3 pi greco mezzi


Ma noi sappiamo che due triangoli rettangoli che hanno l'ipotenusa ed un angolo acuto congruenti, sono congruenti.

Quindi possiamo dire che:

  • il segmento OH è congruente con il segmento OH1;
  • e il segmento HP è congruente con il segmento H1P1;

Archi la cui somma è 3 pi greco mezzi


Sappiamo anche che il segmento OH1 è il SENO dell'angolo (3π/2) - α, mentre il segmento OH è il COSENO dell'angolo α.

Notiamo, però, che il coseno dell'angolo α è positivo, mentre il seno dell'angolo (3π/2) - α è negativo, quindi possiamo dire che

Archi la cui somma è 3 pi greco mezzi


Sappiamo poi che il segmento H1P1 è il COSENO dell'angolo (3π/2) - α, mentre il segmento HP è il SENO dell'angolo α.

Anche in questo caso osserviamo che il seno dell'angolo α è positivo, mentre il coseno dell'angolo (3π/2) - α è negativo, quindi possiamo dire che

Archi la cui somma è 3 pi greco mezzi


A questo punto non ci resta che ricavare le altre funzioni goniometriche.

Archi la cui somma è 3 pi greco mezzi



Archi la cui somma è 3 pi greco mezzi


Archi la cui somma è 3 pi greco mezzi


Archi la cui somma è 3 pi greco mezzi




Se, ad esempio, vogliamo sapere qual è il coseno dell'angolo di 240° possiamo ragionare in questi termini:

240° = 270° - 30°

quindi il coseno dell'angolo di 240° è uguale all'opposto del seno dell'angolo di 30° e poiché il seno dell'angolo di 30° è pari a 1/2, possiamo dire che il coseno dell'angolo di 240° è uguale a -1/2.

 
 
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