ARCHI CHE DIFFERISCONO DI π

Per comprendere meglio questo argomento, leggi prima le seguenti lezioni:
 

In questa lezione andremo a vedere la relazione esistente tra le funzioni goniometriche dell'angolo α e quelle dell'angolo π + α.

Iniziamo disegnando la circonferenza goniometrica e l'angolo orientato α. Come di consueto indichiamo con P il punto associato a tale angolo.

Archi che differiscono di pi greco


Ora, sulla stessa circonferenza goniometrica, individuiamo l'angolo orientato π

Archi che differiscono di pi greco


e, ad esso, aggiungiamo l'angolo α in modo da ottenere l'angolo π + α

Archi che differiscono di pi greco


Indichiamo con P1 il punto associato all'angolo orientato π + α.


Archi che differiscono di pi greco


Sappiamo che le coordinate del punto P rappresentano il coseno e il seno di α. Ovvero:

P (cos α ; sen α)


Archi che differiscono di pi greco


A questo punto andiamo a disegnare il triangolo OHP e il triangolo OH1P1:

Archi che differiscono di pi greco


Entrambi i triangoli hanno un angolo retto: quello con vertice in H nel triangolo OHP e quello con vertice in H1 nel triangolo OH1P1.
Possiamo affermare con certezza che si tratta di due angoli retti poiché essi sono formati da due rette che intersecano perpendicolarmente l'asse delle x.

Archi che differiscono di pi greco


Quindi entrambi i triangoli sono TRIANGOLI RETTANGOLI.


Nei due triangoli sono CONGUENTI:

  • l'ipotenusa. Infatti, sia OP che OP1 sono RAGGI della circonferenza goniometrica e quindi, sono pari ad 1;
  • un angolo acuto ed esattamente l'angolo con vertice in O.

    Nel triangolo OHP sappiamo, come dato di partenza, che l'angolo con vertice in O è l'angolo α.

    Nel triangolo OH1P1 evidentemente l'angolo con vertice in O è l'angolo α dato che lo abbiamo ottenuto sommando a π l'angolo α.


Archi che differiscono di pi greco


Ma noi sappiamo che due triangoli rettangoli che hanno l'ipotenusa ed un angolo acuto congruenti, sono congruenti.

Quindi possiamo dire che:

  • il segmento OH è congruente con il segmento OH1;
  • e il segmento HP è congruente con il segmento H1P1;

Archi che differiscono di pi greco


Sappiamo anche che il segmento OH1 è il COSENO dell'angolo π + α, mentre il segmento OH è il COSENO dell'angolo α.

Notiamo, però, che il coseno dell'angolo α è positivo, mentre il coseno dell'angolo π + α è negativo, quindi possiamo dire che

Archi che differiscono di pi greco


Sappiamo poi che il segmento H1P1 è il SENO dell'angolo π + α, mentre il segmento HP è il SENO dell'angolo α.

Anche in questo caso osserviamo che il seno dell'angolo α è positivo, mentre il seno dell'angolo π + α è negativo, quindi possiamo dire che

Archi che differiscono di pi greco



A questo punto non ci resta che ricavare le altre funzioni goniometriche.

Archi che differiscono di pi greco



Archi che differiscono di pi greco


Archi che differiscono di pi greco


Archi che differiscono di pi greco




Così, ad esempio, se abbiamo un angolo di 210° e vogliamo conoscere la sua secante, possiamo ragionare in questi termini:

210° = 180° + 30°

quindi la secante dell'angolo di 210° è uguale all'opposto della secante dell'angolo di 30° e poiché la secante dell'angolo di 30° è uguale a 2/3 per radice di tre, possiamo dire che questa è anche la secante dell'angolo di 210°.

 
 
Il nostro sito collabora ad una ricerca condotta dall'Università dell'Aquila e dall'Università di Pavia sulla didattica della matematica. Ti saremmo grati se volessi dedicarci alcuni minuti rispondendo ad un breve questionario.

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