OMOTETIA DI UN TRIANGOLO E DI ALTRE FIGURE PIANE

Per comprendere meglio questo argomento, leggi prima le seguenti lezioni:
 

Concludiamo, con questa lezione, il nostro esame delle OMOTETIE facendo alcune ulteriori rifessioni che riguardano i TRIANGOLI in particolare e, più in generale, tutte le FIGURE PIANE.



Disegniamo il triangolo F e il triangolo F' omotetico di F rispetto al centro O e di rapporto 2:

Omotetia di un triangolo



Innanzitutto diciamo che, nell'immagine sopra, abbiamo omesso di disegnare le rette passani per i punti OB, OB e OC semplicemente per rendere più semplice il disegno e permettere di cogliere, con più facilità, le relazioni che andremo ad illustrare.



La prima osservazione che possiamo fare è che il triangolo F' è SIMILE al triangolo F: in altre parole i due triangoli hanno la stessa forma.



La seconda osservazione da fare è che il triangolo F' ha i LATI PARALLELI rispetto ai lati del triangolo F:

  • A'B' è parallelo ad AB;
  • B'C' è parallelo ad BC;
  • C'A' è parallelo a CA.

Omotetia di un triangolo



Ora andiamo a misurare l'ampiezza degli ANGOLI dei due triangoli e noteremo che essi sono CONGRUENTI a due a due.

Omotetia di un triangolo



Adesso osserviamo i LATI dei due triangoli: già ad occhio possiamo dire che essi non sono conguenti, ma se li misuriamo notiamo che:

  • A'B' è il doppio di AB;
  • B'C' è il doppio di BC;
  • C'A' è il doppio di CA.

Omotetia di un triangolo



Ricordiamo che, nel disegnare il triangolo F' avevamo posto il rapporto di omotetia uguale a 2. Quindi, in maniera più generale si può dire che, nell'omotetia di un triangolo, i LATI di un triangolo sono uguali al PRODOTTO tra il corrispondente lato dell'altro triangolo e il valore assoluto di k.



Infine notiamo la relazione esistente tra le AREE dei due triangoli.

Misuriamo base ed altezza dei triangoli disegnati e calcoliamo le rispettive aree: noteremo che l'area del triangolo F' è uguale a al PRODOTTO tra l'area del triangolo F e il valore di k2.

Omotetia di un triangolo



Negli esempi che abbiamo fatto sopra abbiamo sempre disegnato delle omotetie DIRETTE, ma quanto abbiamo visto vale anche in caso di omotetie INVERSE: lasciamo a voi effettuare i disegni per verificarlo.



Inoltre, negli esempi visti prima abbiamo sempre disegnato dei triangoli, ma quanto detto vale per TUTTE le FIGURE PIANE: provate voi a verificarlo.

 
 
 
Il nostro sito collabora ad una ricerca condotta dall'Università dell'Aquila e dall'Università di Pavia sulla didattica della matematica. Ti saremmo grati se volessi dedicarci alcuni minuti rispondendo ad un breve questionario.

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