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OMOTETIA DIRETTA ED INVERSA

 



Per comprendere  

 

Nelle lezioni precedenti, abbiamo parlato di OMOTETIE. Ora vogliamo fare, innnanzitutto, una sintesi per chiarire meglio cosa hanno in comune e cosa hanno di diverso le OMOTETIE DIRETTE e quelle INVERSE, e poi vogliamo vedere come varia l'omotetia al variare del valore di k.

 

Nelle lezioni precedenti abbiamo dato due definizioni diverse, ma simili, di omotetia diretta e inversa.

 

Abbiamo detto che, per OMOTETIA DIRETTA si intende una TRASFORMAZIONE che, dato un punto O ed un NUMERO REALE k, POSITIVO e DIVERSO da ZERO, associa ad ogni punto P del piano, il punto P' allineato con O e con P, tali che P e P' siano situati dalla STESSA PARTE rispetto ad O e tali che il rapporto tra OP' ed OP sia UGUALE a k.

 

E abbiamo detto che, per OMOTETIA INDIRETTA si intede una TRASFORMAZIONE che, dato un punto O ed un NUMERO REALE k, NEGATIVO e DIVERSO da ZERO, associa ad ogni punto P del piano, il punto P' allineato con O e P, tali che P e P' siano situati da PARTI OPPOSTE rispetto ad O e tali che il rapporto tra OP' ed OP sia UGUALE al VALORE ASSOLUTO di k.

 

 

In maniera più sintetica, quindi, si può dire che l'OMOTETIA è una TRASFORMAZIONE che, dato un punto O ed un NUMERO REALE k, DIVERSO da ZERO, associa ad ogni punto P del piano, il punto P' allineato con O e P, tali che il rapporto tra OP' e OP sia UGUALE al VALORE ASSOLUTO di k e che:

  • P e P' giacciano dalla stessa parte rispetto al punto O nel caso in cui k > 0 (omotetia diretta);
  • P e P' giacciano da parti opposte rispetto al punto O nel caso in cui k < 0 (omotetia inversa o indiretta).

 

 

Chiediamoci ora perché abbiamo detto che k deve essere DIVERSO da ZERO.

Semplice. Noi sappiamo che, dato un punto P ed il centro dell'omotetia O, il punto P' omotetico di P rispetto al centro O e al rapporto k, è tale che la distanza OP' è uguale al prodotto tra il valore assoluto di k e la distanza OP. Ma se k = 0 si avrà che la distanza OP' sarà uguale a zero. In altre parole significa che il punto P' non è altro che il punto O. E questo accadrebbe per ogni punto del piano.

 

 

Omotetia di una figura piana

 

 

 

Ora proviamo a vedere cosa accade se

k = -1.

 

 

Essendo k < 0 la nostra è un'OMOTETIA INDIRETTA.

Proviamo a disegnarla:

 

 

Omotetia indiretta e simmetria

 

 

 

E' evidente che la figura F' l'avremmo potuta ottenere anche mediante una SIMMETRIA CENTRALE di centro O.

 

Se ci ragioniamo su è abbastanza chiaro il perché: nella simmetria centrale, il punto A' deve essere situato dalla parte opposta di A rispetto al centro della simmetria e la distanza AO deve essere uguale alla distanza OA'.

 

 

 

Infine vediamo cosa accade se

k = 1.

 

Essendo k > 0 la nostra è un'OMOTETIA DIRETTA.

Quindi, data una figura F, il punto A' deve essere situato dalla stessa parte del punto A rispetto al centro dell'omotetia, e la distanza AO deve essere uguale alla distanza OA'.

Quindi la figura F' coincide con la figura F: di conseguenza possiamo dire che, in questo caso, l'omotetia si riduce ad una IDENTITA'.

 

Omotetia diretta

 

 

 

Facciamo ora un'ultima osservazione. Notiamo che:

  • se |k| > 1 la figura F' che si ottiene dalla omotetia è più grande rispetto alla figura F, e questo sia che si tratti di omotetia diretta che di omotetia indiretta;
  •  

     

    Omotetia

     

    Omotetia

     

     

  • se |k| < 1 la figura F' che si ottiene dalla omotetia è più piccola rispetto alla figura F, e questo sia che si tratti di omotetia diretta che di omotetia indiretta;

 

 

Omotetia

 

Omotetia

 

 

Nella prossima lezione affonteremo il tema dell'omotetia di una retta.

 

 

 

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